1．將全體正整數排成乙個三角形數陣：
12 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為
2．對大於或等於的自然數的次方冪有如下分解方式：
根據上述分解規律，則， 若的分解中最小的數是73，則的值為9
3．在數列中，a1=1，當n≥2時，an，sn，sn－成等比數列．
(1)求a2，a3，a4，並推出an的表示式；
(2)用數學歸納法證明所得的結論．
解：∵an，sn，sn－成等比數列，∴sn2=an·(sn－)(n≥2) (*)
(1)由a1=1，s2=a1+a2=1+a2，代入(*)式得：a2=－
由a1=1，a2=－，s3=+a3代入(*)式得：a3=－
同理可得：a4=－，由此可推出：an=
(2)①當n=1，2，3，4時，由(*)知猜想成立．
②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立
故sk2=－·(sk－)，∴(2k－3)(2k－1)sk2+2sk－1=0
∴sk= (舍)
由sk+12=ak+1·(sk+1－)，得(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk－)
4． 設()， 是否存在n的整式g(n)， 使得等式
對於大於1的一切自然數n都成立?證明你的結論．
5．（08全國）設函式．數列滿足，．
證明：（ⅰ）函式在區間是增函式； （ⅱ）．
證明：（ⅰ），
故函式在區間(0，1)上是增函式；
（ⅱ）（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，
由函式在區間是增函式，且函式在處連續，則在區間是增函式，，即成立；
（ⅱ）假設當時，成立，即
那麼當時，由在區間是增函式，得
．而，則，
，也就是說當時，也成立；
根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恆成立．
6．已知函式．
（1）求證：在上是增函式；
（2）設， ，， ．
①證明：；
②證明： ．
證明：（1），
∴在上是增函式． ………………4分
（2）①用數學歸納法證明．
當時，，，
∴，不等式成立．
假設時不等式成立，即．
∵在上是增函式，∴，
故，即，
∴時不等式也成立．
由、得不等式對一切都成立．
②由①知，∴．∴
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