結論一：若ab是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，，則：，。
例：已知直線ab是過拋物線焦點f的直線，求證：為定值。
結論二：（1）若ab是拋物線的焦點弦，且直線ab的傾斜角為α，則（α≠0）。（2）焦點弦中通徑（過焦點且垂直於拋物線對稱軸的弦）最短。
例：已知過拋物線的焦點的弦ab長為12，則直線ab傾斜角為 。
結論三：兩個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切。
（2）過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。
結論四：若拋物線方程為，過（，0）的直線與之交於a、b兩點，
則oa⊥ob。反之也成立。
結論五：對於拋物線，其引數方程為設拋物線上動點座標為，為拋物線的頂點，顯然，即的幾何意義為過拋物線頂點的動弦的斜率．
例直線與拋物線相交於原點和點，為拋物線上一點，和垂直，且線段長為，求的值．
練習：1. 過拋物線的焦點作一直線交拋物線於兩點，若線段與的長分別是，則
2.設拋物線的焦點為，經過點的直線交拋物線於兩點．點在拋物線的準線上，且軸．證明直線經過原點．
3.已知拋物線的焦點是，準線方程是，求拋物線的方程以及頂點座標和對稱軸方程．
備選1.拋物線的頂點座標是，準線的方程是，試求該拋物線的焦點座標和方程．
2.已知為拋物線上兩點，且，求線段中點的軌跡方程．
拋物線的幾個常見結論及其應用
拋物線中有一些常見、常用的結論，了解這些結論後在做選擇題、填空題時可迅速解答相關問題，在做解答題時也可迅速開啟思路。
結論一：若ab是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，，則：，。
證明：因為焦點座標為f(,0),當ab不垂直於x軸時，可設直線ab的方程為： ，
由得: ∴，。
當ab⊥x軸時，直線ab方程為，則，，∴，同上也有：。
例：已知直線ab是過拋物線焦點f，求證：為定值。
證明：設，，由拋物線的定義知：，，又+=，所以+=-p，且由結論一知：。
則： =（常數）
結論二：（1）若ab是拋物線的焦點弦，且直線ab的傾斜角為α，則（α≠0）。（2）焦點弦中通徑（過焦點且垂直於拋物線對稱軸的弦）最短。
證明：（1）設，，設直線ab:
由得:, ∴，，
∴。易驗證，結論對斜率不存在時也成立。
（2）由（1）：ab為通徑時，，的值最大，最小。
例：已知過拋物線的焦點的弦ab長為12，則直線ab傾斜角為 。
解：由結論二，12=（其中α為直線ab的傾斜角），
則，所以直線ab傾斜角為或。
結論三：兩個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切。
（2）過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。
已知ab是拋物線的過焦點f的弦，求證：（1）以ab為直徑的圓與拋物線的準線相切。
(2)分別過a、b做準線的垂線，垂足為m、n，求證：以mn為直徑的圓與直線ab相切。
證明：(1)設ab的中點為q,過a、q、b向準線l作垂線，
垂足分別為m、p、n，鏈結ap、bp。
由拋物線定義：，，
∴，∴以ab為直徑為圓與準線l相切
（2）作圖如（1），取mn中點p，鏈結pf、mf、nf，
∵，am∥of，∴∠amf=∠afm，∠amf=∠mfo，
∴∠afm=∠mfo。同理，∠bfn=∠nfo，
∴∠mfn=（∠afm+∠mfo+∠bfn+∠nfo）=90°，
∴，∴∠pfm=∠fmp
∴∠afp=∠afm+∠pfm=∠fma+∠fmp=∠pma=90°，∴fp⊥ab
∴以mn為直徑為圓與焦點弦ab相切。
結論四：若拋物線方程為，過（，0）的直線與之交於a、b兩點，則oa⊥ob。反之也成立。
證明：設直線ab方程為:，由得， △>0，，
∵ao⊥bo，∴⊥∴
將，代入得，。∴直線ab恆過定點（0，1）。
∴當且僅當k=0時，取最小值1。
結論五：對於拋物線，其引數方程為設拋物線上動點座標為，為拋物線的頂點，顯然，即的幾何意義為過拋物線頂點的動弦的斜率．
例直線與拋物線相交於原點和點，為拋物線上一點，和垂直，且線段長為，求的值．
解析：設點分別為，則，．
的座標分別為．．．
練習：2. 過拋物線的焦點作一直線交拋物線於兩點，若線段與的長分別是，則
【解析：化為標準方程，得，從而．取特殊情況，過焦點的弦垂直於對稱軸，則為通徑，即，從而，故】
2.設拋物線的焦點為，經過點的直線交拋物線於兩點．點在拋物線的準線上，且軸．證明直線經過原點．
【證明：拋物線焦點為．設直線的方程為，代入拋物線方程，得．若設，則． 軸，且點在準線；
又由，得， 故，即直線經過原點．】
3.已知拋物線的焦點是，準線方程是，求拋物線的方程以及頂點座標和對稱軸方程．
【解：設是拋物線上的任意一點，由拋物線的定義得．
整理，得，此即為所求拋物線的方程．
拋物線的對稱軸應是過焦點且與準線垂直的直線，因此有對稱軸方程．
設對稱軸與準線的交點為，可求得，於是線段的中點就是拋物線的頂點，座標是】
備選1.拋物線的頂點座標是，準線的方程是，試求該拋物線的焦點座標和方程．
解：依題意，拋物線的對稱軸方程為．
設對稱軸和準線的交點是，可以求得．設焦點為，則的中點是，故得焦點座標為． 再設是拋物線上的任一點，
根據拋物線的定義得，化簡整理得，即為所求拋物線的方程．
2.已知為拋物線上兩點，且，求線段中點的軌跡方程．
解析：設，，
據的幾何意義，可得．
設線段中點，則
消去引數得點的軌跡方程為．
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