一、知識點講解：
1. 勾股定理：對於任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、 b，斜邊為c，那麼一定有a＋b＝c；
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
（4）利用勾股定理，作出長為的線段
2. 勾股定理逆定理直角三角形的判定：如果三角形的三邊長a、 b、 c有關係： a＋b＝c，那麼這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△abc是以∠c為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△abc是以∠c為鈍角的鈍角三角形；若c2（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
3、命題與原命題：勾股定理的逆定理的題設和結論恰好與勾股定理的題設和結論相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
4、逆定理：一般地，如果乙個定理的逆命題經過證明是正確的，它也是乙個定理，稱這兩個定理互為逆定理。
5、勾股數：3、4、5這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。
6、勾股數的推算公式：
（1）任取兩個正整數m和n(m>n),那麼m2-n2，2mn, m2+n2是一組勾股數。
（2）如果k是大於1的奇數，那麼k, ,是一組勾股數。
（3）如果k是大於2的偶數，那麼k, ,是一組勾股數。
（4）如果a,b,c是勾股數，那麼na, nb, nc (n是正整數)也是勾股數。
（5）若c2＝a2＋b2，則△abc是以∠c為直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；
若a2＋b2＞c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）
7.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
（2）在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等於30°。
2、典型例題：
型別一：勾股定理的直接用法
1.已知abc的三邊、、滿足，則abc為三角形
2.在abc中，若=（+）（-），則abc是三角形，且
3.在abc中，ab=13，ac=15，高ad=12，則bc的長為
4 在rt△abc中，∠c=90°，c=10，a：b=3：4，則a= ，b= .
5 在rt△abc中，∠c=90°，b=24，a：c=15：17，則rt△abc面積為
6在rt△abc中，∠c=90°，c-a=4， b=16，則a= ，c= .
7 已知rt△abc中，∠c=90°，若a+b=14，c=10，則rt△abc的面積是_______．
8 乙個直角三角形的三邊為三個連續整數，則它的三邊長分別為 .
9乙個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為 .
10．已知一直角三角形兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為______．
型別二：勾股定理的逆定理直接用法
1、若乙個三角形的三邊長分別為1、a、8(其中a為正整數)，則以a－2、a、a＋2為邊的三角形的面積為________．
2、已知△abc的三邊分別為k2－1，2k，k2+1（k＞1），求證：△abc是直角三角形.
3、已知a、b、c是rt△abc的三邊長，△a1b1c1的三邊長分別是2a、2b、2c，那麼△a1b1c1是直角三角形嗎？為什麼？
4、若△abc的三邊長為a、b、c，根據下列條件判斷△abc的形狀。
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
5、如圖，在△abc中，d為bc邊上的一點，已知ab＝13，ad＝12，ac＝15，bd＝5，求cd的長．
6、已知與互為相反數，試判斷以、、為三邊的三角形的形狀。
7、若abc的三邊、、滿足條件，試判斷abc的形狀。
型別三：直角邊與斜邊和斜邊上的高的關係
1、在中，， ， ，於，＝
2、已知直角三角形的兩直角邊長之比為，斜邊長為，則這個三角形的面積為
3、已知直角三角形的周長為，斜邊長為，則這個三角形的面積為
4、如果rt△兩直角邊的比為5∶12，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ）
a、60∶13 b、5∶12 c、12∶13 d、60∶169
型別四：勾股定理的面積問題
1、如圖：梯形abcd中ab∥cd，∠adc+∠bcd=90°，以ad、ab、bc為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是s1、s2、s3 ，且s1 +s3 =4s2，則cd=（ ）
a. 2.5ab b. 3ab c. 3.5ab d. 4ab
2、在四邊形abcd中，如圖，
，求abcd的面積．
3、已知：如圖，四邊形abcd中，ab⊥bc，ab＝1，bc＝2，cd＝2，ad＝3，求四邊形abcd的面積．
4、已知直角三角形的周長為，斜邊上的中線為1，求這個三角形的面積。
bpc型別五：勾股定理的證明與計算問題
1、已知如圖.在四邊形abcd中，∠abc=135°，∠bcd=120°.ab=，bc=3-，cd=2，求 ad的長。cb
ad2、在中，，為邊上任一點，求證：
3、已知：如圖，在中，，是的中點，於
求證：（1）
（2）4、如圖，在中，，，，
（1）的長. （2）的面積.
5、如圖，有乙個直角三角形紙片，兩直角邊ac=6cm，bc=8cm，現將直角邊ac沿直線ad摺疊，
使它落在斜邊ab上，且與ae重合，你能求出cd的長嗎？
6、如圖，△abc中，∠abc=90°，∠c=30°，ad是角平分線，求證：dc=2bd
7、如圖所示，△abc中，，求：ac的長．
型別六：勾股定理中的距離最短問題
1、如圖a，一圓柱體的底面周長為24cm，高bd為4cm，bc是直徑，乙隻螞蟻從點d出發沿著圓柱的表面爬行到點c的最短路程大約是（ ）a、6cm b、12cm c、13cm d、16cm
2、有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，乙隻螞蟻要從長方體的乙個頂點a處沿長方體的表面爬到長方體上和a相對的頂點b處，則需要爬行的最短路徑長為
3、如圖是乙個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內壁的a處（長的四等分）有乙隻壁虎，b處（寬的三等分）有乙隻蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為
型別七：勾股定理中實際問題
1、如圖21,校園內有兩棵樹,相距12公尺,一棵樹高為13公尺,另一棵樹高8公尺,乙隻小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端,小鳥至少要飛多少公尺？
2、如圖22所示，一根長2a的木棍（ab），斜靠在與地面（om）垂直的牆（on）上, 設木棍的中點為
p. 若木棍a端沿牆下滑，且b端沿地面向右滑行. 在木棍滑動的過程中，當滑動到什麼位置時，△aob
的面積最大？簡述理由，並求出面積的最大值.
3、 如圖23所示，公路mn和公路pq在p點處交匯，點a處有一所中學，ap=160m，點a到公路mn
的距離為80m．假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到雜訊影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方
向行駛時，學校是否會受到影響?請說明理由；如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那麼學校受影
響的時間為多少秒?
圖21圖22圖23
4、已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是2+，求這個三角形的面積．
5、如圖，南北向mn以西為我國領海，以東為公海.上午9時50分，我反走私a艇發現正東方向有一走私艇c以13海浬/時的速度偷偷向我領海駛來，便立即通知正在mn線上巡邏的我國反走私艇b.已知a、c兩艇的距離是13海浬，a、b兩艇的距離是5海浬；反走私艇測得離c艇的距離是12海浬.
若走私艇c的速度不變，最早會在什麼時間進入我國領海？
6、如圖，a、b是筆直公路l同側的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2)，現要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？
第十八章勾股定理 3
一 填空題 每小題3分，共36分 1 在rt abc中，c 90 ac 3，bc 4，則ab 2 如圖,小明的爸爸在院子的門板上釘了 乙個加固板,從數學的角度看,這樣做的 道理是3 小明同學要做乙個直角三角形小鐵架，他現有4根長度分別為4cm 6cm 8cm 10cm的鐵棒，可用於製作成直角三角形鐵...
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