第六講實數的概念及性質
數是隨著客觀實際與社會實踐的需要而不斷擴充的．
從有理數到無理數，經歷過漫長曲折的過程，是乙個巨大的飛躍，由於引入無理數後，數域就由有理數域擴充到實數域，這樣，實數與數軸上的點就建立了一一對應的關係．
由於引入開方運算，完善了代數的運算．平方根、立方根的概念和性質，是學習二次根式、一元二次方程等知識的基礎．平方根、立方根是最簡單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質是進一步學習偶次方根、奇次方根的基礎．
有理數和無理數統稱為實數，實數有下列重要性質：
1．有理數都可以寫成有限小數或迴圈小數的形式，都可以表示成分數的形式；無理數是無限不迴圈小數，不能寫成分數的形式，這裡、是互質的整數，且．
2．有理數對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數的和、差、積、商還是有理數；無理數對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數．
例題求解
【例1】若a、b滿足3=7，則s＝的取值範圍是 ．
(全國初中數學聯賽試題)
思路點撥運用、的非負性，建立關於s的不等式組．
注： 古希臘的畢達哥拉斯學派認為，宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比．但是該學派的成員希伯索斯發現邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示，這嚴重地衝擊了當時希臘人的傳統見解，這一事件在數學史上稱為第一次數學危機．希伯索斯的發現沒有被畢達哥拉斯學派的信徒所接受，相傳畢氏學派就因這一發現而把希伯索斯投入海中處死．
【例2】 設是乙個無理數，且a、b滿足ab－a－b+1=0，則b是乙個( )
a．小於0的有理數 b．大於0的有理數 c．小於0的無理數 d．大於0的無理數
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥對等式進行恰當的變形，建立a或b的關係式．
【例3】已知a 、b是有理數，且，求a、b的值．
思路點拔把原等式整理成有理數與無理數兩部分，運用實數的性質建立關於a、b的方程組．
【例4】(1) 已知a、b為有理數，x，y分別表示的整數部分和小數部分，且滿足axy+by2＝1，求a+b的值． (南昌市競賽題)
(2)設x為一實數，[x]表示不大於x的最大整數，求滿足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整數x的值．(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)運用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)運用[x]的性質，簡化方程．
注： 設x為一實數，則[x]表示不大於x的最大整數，[x]]又叫做實數x的整數部分，有以下基本性質：
(1)x－1<[x]≤x (2)若y< x，則[y]≤[x] (3)若x為實數，a為整數，則[x+a]= [x]+ a．
【例5】 已知在等式中，a、b、c、d都是有理數，x是無理數，解答：
(1)當a、b、c、d滿足什麼條件時，s是有理數；
(2) 當a、b、c、d滿足什麼條件時，s是無理數．
( 「希望盃」邀請賽試題)
思路點撥 (1)把s用只含a、b、c、d的代數式表示；(2)從以下基本性質思考：
設a 是有理數，r是無理數，那麼①a+r是無理數；②若a ≠0，則a r也是無理數；③
r的倒數也是無理數，解本例的關鍵之一還需運用分式的性質，對a、b、c、d取值進行詳細討論．
注：要證乙個數是有理數，常證這個數能表示威幾十有理數的和，差，積、商的形式；要證乙個數是無理數，常用反證法，即假設這個數是有理數，設法推出矛盾．
學力訓練
1．已知x、y是實數，，若，則a
(2023年個數的平方根是和，那麼這個數是 ．
3．方程的解是 ．
4．請你觀察思考下列計算過程：∵112＝121，∴；同樣∵1112=12321，∴；…由此猜想 ．
(濟南市中考題)
5．如圖，數軸上表示1、的對應點分別為a、b，點b關於點a的對稱點為c，則點c所表示的數是( )
a． b． c． d．
(江西省中考題)
6．已知x是實數， 則的值是( )
a． b． c． d．無法確定的
希望盃」邀請賽試題)
7．代數式的最小值是( )
a．0 b． c．1 d．不存在的
( 「希望盃」邀請賽試題)
8．若實數a、b滿足，求2b+a－1的值．
(山西省中考題)
9．細心觀察圖形，認真分析各式，然後解答問題．
，；，；，；…
(1)請用含有n(n是正整數)的等式表示上述變化規律；
(2)推算出oa10的長；
(3)求出sl2+s22+s32+…+s210的值． (煙台市中考題)
10．已知實數 a、b、c滿足，則a(b+c)= ．
11．設x、y都是有理數，且滿足方程，那麼x－y的值是 ．
( 「希望盃』邀請賽試題)
12．設a是乙個無理數，且a、b滿足ab+a－b＝1，則b= ．
(四川省競賽題)
13．已知正數a、b有下列命題：
①若a=1，b＝1，則； ②若，則；
③若a＝2，b=3，則； ④若a=1，b=5，則．
根據以上幾個命題所提供的資訊，請猜想，若a=6，b=7，則 ．
(黃岡市競賽題)
14．已知：，那麼代數式的值為( )
a． b． c． d．
(重慶市競賽題)
15．設[x]表示最接近x的整數(x≠n+0.5，n為整數)，則的值為( )
a．5151 b．5150 c．5050 d．5049
( 「五羊杯」邀請賽試題)
16．設a a． b． c． d．3
(全國初中數學競賽題)
17．若a、b、c為兩兩不等的有理數，求證：為有理數．
18．某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質量，當把鐵塊放在天平左盤中時，稱得它的質量為300克，當把鐵塊放在天平的右盤中時，稱得它的質量為900克，求這一鐵塊的實際質量．
(安徽省中考題)．
19．閱讀下面材料，並解答下列問題：
在形如ab=n的式於中，我們已經研究過兩種情況：
①已知a和b，求n，這是乘方運算，②已知b和n，求a，這是開方運算．
現在我們研究第三種情況；已知a和n，求b，我們把這種運算叫做對數運算．
定義：如果ab=n (a>0，a≠1，n>0)，則b叫做以a為底的n的對數，記作b=logan．
例如：因為23=8，所以log28=3；因為2-3=，所以log2=－3．
(1)根據定義計算:
①log3 81= ；②log33= ；③log3l= ；④如果logx 16=4，那麼x= ．
(2)設ax=m，ay＝n，則logam=x；logan＝y(a>0，a≠1，n>0，m，n均為正數)．
用logam，logan的代數式分別表示logamn及loga，並說明理由．
(泰州市中考題)
20．設，a、b、c、d都是有理數，x是無理數．求證：
(1)當bc=ad時，y是有理數；
(2)當bc≠ad時，y是無理數．
21.設△abc的三邊分別是a、b、c，且，試求aabc的形狀．
分式的概念及基本性質
1 分式方程應用題 初二數學 題型 計算題 有一大捆粗細均勻的鋼筋，現在確定其長度，先稱出這捆鋼筋的總質量為m千克，再從中擷取五公尺長的鋼筋，稱出它的質量為n千克，那麼這困鋼筋的總長度為？問題癥結 找不到突破口，請老師幫我理一下思路 考查知識點 分式的約分與通分 難度 中 有一大捆粗細均勻的鋼筋，現...
雙篩法的概念及相關性質
摘要 偶數，表為兩個奇素數之和的表法個數，是由數軸上關於對稱分布的素數個數決定的。如何確定數軸上關於對稱分布的素數及其個數？是研究哥德 猜想的關鍵環節。本文闡述解決該問題的重要方法 雙篩法 關鍵詞 雙篩法正篩逆篩篩後剩餘對稱 1，雙篩法的概念 1，定義 設偶數，以不超過的素數為篩元素。從自然數列，中...
奧數同餘的概念及性質 詳解過程
第五講同餘的概念和性質 你會解答下面的問題嗎？問題1 今天是星期日，再過15天就是 六 一 兒童節了，問 六 一 兒童節是星期幾？這個問題並不難答.因為，乙個星期有7天，而15 7 2 1，即15 7 2 1，所以 六 一 兒童節是星期一。問題2 1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期幾？...