1.4等比數列的概念及其簡單性質（教師用）
知能點全解：
知能點一：等比數列的定義
一般地，如果乙個數列從第二項起，每一項與它前面相鄰一項之比為同乙個常數，則這個數列叫做等比數列。
特別說明：
1、定義還可以表述為：數列中，若（常數）。則稱為等比數列。
2、由於等比數列每一項都可以作分母，故每一項均不為，即。
3、定義中的「同乙個」常數，這個「同乙個」十分重要，切記不可丟掉。
4、常數列都是等差數列；非零常數列都是等比數列。
例 1：下面四個數列：
①；②數列中，已知；③常數列；
④在數列中，（常數），其中。其中是等比數列的有 ④ 。
知能點二：等比數列的通項公式
第一通項公式： ，為首項，為公比。
第二通項公式：
例 2：在等比數列中
（1）若，求2），求；
（3），求。
解：（1）∵
∴ （2）∵ ∴
當時，由，可得；當時，同理可得。
（3）由已知得由得： ∴或
當時，；當時，。
知能點三：等比中項
若、、成等差數列，則叫做與的等比中項，此時。
特別說明：
1、在、同號時，、的等比中項有兩個；在、異號時，、沒有等比中項。
2、「、、成等差數列」等價於「」，可以用它來判斷或證明三數成等比數列。
知能點四：等比數列的簡單性質
1、在等比數列中，若，則。
2、在等比數列中，序號成等差數列的項，仍稱等比數列。
3、若，是項數相同的等比數列，則仍是等比數列。
4、若是等差數列，則為等比數列；若是等比數列，則為等差數列。
5、等比數列的增減性
為遞增數列；為遞減數列。
為常數列；為擺動數列。
例 3：已知等比數列，若，求。
解或 ∴或
例 4：設數列是等差數列，，已知，求。
解：設數列的公差為，則
∵為非零常數 ∴是等比數列，設其公比為。
當時， ∴
當時， ∴
例 5：已知數列是各項為正的等比數列，且，試比較與的大小。
解：當時，此正數等比數列單調遞減，與同為正數
當時，此正數等比數列單調遞增，與同為負數
∴恆正 ∴
知能點演練：
一、選擇題
1、某種細胞每隔20分鐘**1次，1個**成2個，則1個這樣的細胞經過3小時20分後，可得到的細胞個數為（ c ）
a、512個b、511個c、1024個d、1023個
2、若等比數列的首項為，末項為，公比為，則這個數列的項數為（ b ）
abcd、
3、若是等比數列，且，則公比（ c ）
ab、或c、或d、或
4、若是等比數列的前項，則第項為（ b ）
abcd、
5、已知公比為的等比數列，若，則數列是（ a ）
a、公比為的等比數列b、公比為的等比數列
c、公差為的等差數列d、公差為的等差數列
6、在正項等比數列中，是方程的兩個根，則的值為（ d ）
abcd、
7、在和之間插入兩個正數，使前數成等比數列，後數成等差數列，則這兩個正數的和為（ b ）
abcd、
8、在等比數列中，且，則的值為（ b ）
abcd、
9、已知，且成等比數列，為大於的整數，則成（ c ）
a、等差數列 b、等比數列 c、各項倒數成等差數列 d、以上都不對
10、已知為各項都大於零的等比數列，公比，則（ a ）
ab、cd、的大小關係不能由已知條件確
11、已知數列的前項和（是不為零的常數），那麼數列（ c ）
a、一定是等差數列b、一定是等比數列
c、等差數列或是等比數列d、既不可能是等差，也不可能是等比數列
12、已知等比數列各項均為正數，且成等差數列，則（ b ）
abc、 d、或
13、若實數成等比數列，則函式的影象與軸的交點個數是（ a ）
abcd、不確定
14、在等比數列中，，則（ d ）
abcd、
15、在各項均為正數的等比數列中，若，則等於（ b ）
abcd、
16、給定公比為的等比數列，設
，則數列是（ c ）
a、等差數列 b、公比為的等比數列 c、公比為的等比數列 d、既非等差又非等比數列
17、三個互不相等的實數依次成等差數列，且依次成等比數列，則的值為（ b ）
abc、或d、不確定
二、填空題
18、在等比數列中，已知，且公比為整數，則 。
19、非零實數成等差數列，若加，不變，或是不變，加，都可以按同樣的順序成等比數列，則
20、已知四個實數成等差數列，五個實數成等比數列，則 。
21、三個數成等差數列，三個數成等比數列，則或- 。
22、已知等差數列的公差，且成等比數列，則 。
23、在數列、中，，且對任意自然數，是與的等差中項，則是首項為公比為的等比數列 。
24、下列命題中，正確命題的序號為 ①②④ 。
①若為等比數列，且，則；②若為等比數列，公比為，則也是等比數列，公比為；③若為等比數列，公比為，則也是等比數列，公比為；④若、是等比數列，則也是等比數列。
三、解答題
25、已知數列滿足。
（1）求證：數列是等比數列；（2）求的表示式。
（1）證明：給等式兩邊分別加，得：
即， ∴是以為首項，為公比的等比數列
（2）由（1）知： ∴
26、數列的前項和記為。已知
求證：（1）數列是等比數列；（2）。
證明：（1）∵ ∴
整理得數列是以為公比的等比數列
（2）由（1）知 ∴
又∵ ∴ ∴對於任意正整數，都有
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