一、等差數列
1.等差數列的定義：（d為常數）（）；
2．等差數列通項公式：
首項:，公差:d，末項:
推廣：． 從而；
3．等差中項
（1）如果，，成等差數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
（2）等差中項：數列是等差數列
4．等差數列的前n項和公式：
（其中a、b是常數，所以當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0）
特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項
（項數為奇數的等差數列的各項和等於項數乘以中間項）
5．等差數列的判定方法
（1） 定義法：若或(常數)是等差數列．
（2） 等差中項：數列是等差數列．
⑶數列是等差數列（其中是常數）。
（4）數列是等差數列,（其中a、b是常數）。
6．等差數列的證明方法
定義法：若或(常數)是等差數列．
7.提醒：
（1）等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）設項技巧：
①一般可設通項
②奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；
③偶數個數成等差，可設為…，,…（注意；公差為2）
8..等差數列的性質：
（1）當公差時，
等差數列的通項公式是關於的一次函式，且斜率為公差；
前和是關於的二次函式且常數項為0.
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有.
注：，（4）若、為等差數列，則都為等差數列
(5) 若{}是等差數列，則，…也成等差數列
（6）數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數列
（7）設數列是等差數列，d為公差，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前n項的和
1.當項數為偶數時，
2、當項數為奇數時，則
（其中是項數為2n+1的等差數列的中間項）．
（8）、的前和分別為、，且，
則.（9）等差數列的前n項和，前m項和，則前m+n項和
(10)求的最值
法一：因等差數列前項是關於的二次函式，故可轉化為求二次函式的最值，但要注意數列的特殊性。
法二：（1）「首正」的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和
即當由可得達到最大值時的值．
（2） 「首負」的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。
即當由可得達到最小值時的值．
或求中正負分界項
法三：直接利用二次函式的對稱性：由於等差數列前n項和的影象是過原點的二次函式，故n取離二次函式對稱軸最近的整數時，取最大值（或最小值）。若s p = s q則其對稱軸為
注意：解決等差數列問題時，通常考慮兩類方法：
①基本量法：即運用條件轉化為關於和的方程；
②巧妙運用等差數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．
二、等比數列
1. 等比數列的定義：，稱為公比
2. 通項公式：
， 首項：；公比：
推廣從而得或
3. 等比中項
（1）如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
注意：同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）
（2）數列是等比數列
4. 等比數列的前n項和公式：
(1) 當時，
(2) 當時，
（為常數）
5. 等比數列的判定方法
（1）用定義：對任意的n,都有為等比數列
（2） 等比中項：（0）為等比數列
（3） 通項公式： 為等比數列
（4） 前n項和公式： 為等比數列
6. 等比數列的證明方法
依據定義：若或為等比數列
7. 注意
（1）等比數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；
如奇數個數成等差，可設為…，…（公比為，中間項用表示）；
8. 等比數列的性質
(1) 當時
①等比數列通項公式是關於n的帶有係數的類指數函式，底數為公比
②前n項和，係數和常數項是互為相反數的類指數函式，底數為公比
(2) 對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得
注： (4) 列,為等比數列,則數列, , , (k為非零常數) 均為等比數列.
(5) 數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列
(6) 如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列
(7) 若為等比數列,則數列，，，成等比數列
(8) 若為等比數列,則數列, , 成等比數列
(9) ①當時當時，
③當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）;
④當q<0時,該數列為擺動數列.
(10)在等比數列中, 當項數為2n (n)時, ,.
(11)若是公比為q的等比數列,則
例1、（1）設是等差數列，且，求及s15值。
（2）等比數列中，，，前n項和sn=126，求n和公比q。
（3）等比數列中，q=2，s99=77，求a3+a6+…+a99；
（4）項數為奇數的等差數列中，奇數項之和為80，偶數項之和為75，求此數列的中間項與項數。
解：（1）由已知可得，所以=2，s15=
，所以或
又,所以或
評注：分解重組，引導發現（）、（）與（）的關係，從而使問題獲得簡單的解法。
設等差數列共2n-1項,則
所以此數列共31項.中間項
評注：（1）在項數為項的等差數列中，；
（2）在項數為項的等差數列中．
變式：（1）若乙個等差數列前3項的和為34，最後三項的和為146，且所有項的和為,則這個數列有13 項；
（2）已知數列是等比數列,且, ,，則
9 ．
（3）等差數列前項和是，前項和是，則它的前項和是 210 ．
(4) 等差數列和的前n項之和之比為(3n+1)：(2n+3),求.。（=）
例2、設等差數列的前n項之和為sn，已知a3=12，s12>0，s13<0，
（1）求公差d的取值範圍。
（2）指出s1，s2，s3，…sn中哪乙個值最大，並說明理由。
解：（1），，即，
由,代入得：。
（2）解一：由，可知，所以s6最大。
解二：，由可知，它的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散的點，根據圖象可知s6最大。
解三：，由得
。又拋物線開口向下，所以s6最大。
評注：求等差數列sn最值有三法：借助求和公式是關於n的二次函式的特點,用配方法求解;借助等差數列的性質判斷,通過」轉折項」求解;借助二次函式圖象求解。（經過原點）
變式：(1) 已知等差數列中，，問s1，s2，s3，…sn中哪乙個值最大。
(2) 數列是首項為，公比為的等比數列，數列滿足
，（1）求數列的前項和的最大值；（2）求數列的前項和．
略解：（1）由題得，∴，∴是首項為3，公差為的ap。
∴，∴由，得，∴數列的前項和的最大值為
（2）由（1）當時，，當時，，
∴當時，
當時，∴．例3、(1) 由正數組成的等比數列，若前項之和等於它前項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列的通項公式．
解：當時，得不成立，∴，∴
由①得，代入②得，∴．
說明：用等比數列前項和公式時，一定要注意討**比是否為1．
(2) 若數列成等差數列，且，求．
解：（法一）基本量法（略）；
（法二）設，則
得：，， ∴，
∴．評注：法二抓住了等差數列前n項和的特徵。
變式：設數列為等差數列，sn為數列的前n項和，已知s7=7，s15=75,tn為數列{}的前n項和，求tn。
解：法一：（基本量法）設首項為a1，公差為d，則
∴ ∴，∴
∴ 此式為n的一次函式， ∴ {}為等差數列，∴。
法二：為等差數列，設sn=an2+bn，∴
解之得： ∴，下略。
例4、已知等差數列，
（1）在區間上，該數列有多少項？並求它們的和；
（2）在區間上，該數列有多少項能被整除？並求它們的和.
解：，（1）由，得，又,
∴ 該數列在上有項, 其和．
（2）∵，∴要使能被整除，只要能被整除，即，
∴，∴，∴，∴在區間上該數列中能被整除的項共有項即第項，其和．
等差、等比數列性質及應用複習參考題
一、選擇題
1.在正整數100至500之間能被11整除的個數為（ ）
a.34b.35c.36d.37
2.是等差數列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則a3+a6+a9的值是（ ）
a.24b.27c.30d.33
3.設函式f(x)滿足f(n+1)= (n∈n*)且f(1)=2,則f(20)為（ ）
a.95b.97c.105d.192
4. 若是等差數列，首項，則使前n項和
成立的最大自然數n是： （ ）
a．4005b．4006c．4007d．4008
5.等差數列中，已知a1=－6,an=0,公差d∈n*,則n(n≥3)的最大值為（ ）
a.5b.6c.7d.8
6. 設命題甲:△abc的乙個內角為60o，命題乙:△abc的三個內角的度數成等差數列.那麼( )
(a)甲是乙的充分不必要條件 (b)甲是乙的必要不充分條件
(c)甲是乙的充要條件d)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
7.已知等差數列的公差為正數，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,則s20為（ ）
a.180b.－180c.90d.－90
8. 現有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩餘的鋼管盡可能的少，那麼剩餘鋼管的根數為（ ）
a.9b.10c.19d.29
9.由公差為d的等差數列a1、a2、a3…重新組成的數列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是（ ）
a.公差為d的等差數列b.公差為2d的等差數列
c.公差為3d的等差數列d.非等差數列
比較全面的等差等比數列的性質總結
一 等差數列 1.等差數列的定義 d為常數 2 等差數列通項公式 首項 公差 d，末項 推廣 從而 3 等差中項 1 如果，成等差數列，那麼叫做與的等差中項 即 或 2 等差中項 數列是等差數列 4 等差數列的前n項和公式 其中a b是常數，所以當d 0時，sn是關於n的二次式且常數項為0 特別地，...
等差等比數列
數學高考總複習 等差數列和等比數列 知識網路 目標認知 考試大綱要求 1 理解等差數列 等比數列的概念.2 掌握等差數列 等比數列的通項公式與前n項和公式.3 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關係或等比關係，並能用有關知識解決相應的問題.4 了解等差數列與一次函式 等比數列與指數函式的關係.重點...
等差等比數列的性質總結
等差數列 1.等差數列的定義 d為常數 2 等差數列通項公式 首項 公差 d，末項 推廣 從而 3 等差中項 1 如果，成等差數列，那麼叫做與的等差中項 即 或 2 等差中項 數列是等差數列 4 等差數列的前n項和公式 其中a b是常數，所以當d 0時，sn是關於n的二次式且常數項為0 特別地，當項...