第十三、十四講等差、等比數列性質及應用（2課時）
例題講解：
例1、（1）設是等差數列，且，求及s15值。
（2）等比數列中，，，前n項和sn=126，求n和公比q。
（3）等比數列中，q=2，s99=77，求a3+a6+…+a99；
（4）項數為奇數的等差數列中，奇數項之和為80，偶數項之和為75，求此數列的中間項與項數。
解：（1）由已知可得，所以=2，s15=
，所以或
又,所以或
評注：分解重組，引導發現（）、（）與（）的關係，從而使問題獲得簡單的解法。
設等差數列共2n-1項,則
所以此數列共31項.中間項
評注：（1）在項數為項的等差數列中，；
（2）在項數為項的等差數列中．
變式：（1）若乙個等差數列前3項的和為34，最後三項的和為146，且所有項的和為,則這個數列有13 項；
（2）已知數列是等比數列,且, ,，則
9 ．
（3）等差數列前項和是，前項和是，則它的前項和是 210 ．
(4) 等差數列和的前n項之和之比為(3n+1)：(2n+3),求.。（=）
例2、設等差數列的前n項之和為sn，已知a3=12，s12>0，s13<0，
（1）求公差d的取值範圍。
（2）指出s1，s2，s3，…sn中哪乙個值最大，並說明理由。
解：（1），，即，
由,代入得：。
（2）解一：由，可知，所以s6最大。
解二：，由可知，它的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散的點，根據圖象可知s6最大。
解三：，由得
。又拋物線開口向下，所以s6最大。
評注：求等差數列sn最值有三法：借助求和公式是關於n的二次函式的特點,用配方法求解;借助等差數列的性質判斷,通過」轉折項」求解;借助二次函式圖象求解。（經過原點）
變式：(1) 已知等差數列中，，問s1，s2，s3，…sn中哪乙個值最大。
(2) 數列是首項為，公比為的等比數列，數列滿足
，（1）求數列的前項和的最大值；（2）求數列的前項和．
略解：（1）由題得，∴，∴是首項為3，公差為的ap。
∴，∴由，得，∴數列的前項和的最大值為
（2）由（1）當時，，當時，，
∴當時，
當時，∴．例3、(1) 由正數組成的等比數列，若前項之和等於它前項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列的通項公式．
解：當時，得不成立，∴，∴
由①得，代入②得，∴．
說明：用等比數列前項和公式時，一定要注意討**比是否為1．
(2) 若數列成等差數列，且，求．
解：（法一）基本量法（略）；
（法二）設，則
得：，， ∴，
∴．評注：法二抓住了等差數列前n項和的特徵。
變式：設數列為等差數列，sn為數列的前n項和，已知s7=7，s15=75,tn為數列{}的前n項和，求tn。
解：法一：（基本量法）設首項為a1，公差為d，則
∴ ∴，∴
∴ 此式為n的一次函式， ∴ {}為等差數列，∴。
法二：為等差數列，設sn=an2+bn，∴
解之得： ∴，下略。
例4、已知等差數列，
（1）在區間上，該數列有多少項？並求它們的和；
（2）在區間上，該數列有多少項能被整除？並求它們的和.
解：，（1）由，得，又,
∴ 該數列在上有項, 其和．
（2）∵，∴要使能被整除，只要能被整除，即，
∴，∴，∴，∴在區間上該數列中能被整除的項共有項即第項，其和．
變式：下表給出乙個「等差數陣」：
其中每行、每列都是等差數列，表示位於第i行第j列的數。
（i） 寫出的值； （ii）寫出的計算公式；
（iii）證明：正整數n在該等差數列陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。
解：（i）
（ii）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列：
第二行是首項為7，公差為5的等差數列：
…… 第i行是首項為，公差為的等差數列，因此
（iii）必要性：若n在該等差數陣中，則存在正整數i，j使得
從而，即正整數2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。
充分性：若2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由於2n+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k，l，使得
從而可見n在該等差數陣中
綜上所述，正整數n在該等差數陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。
例5、（1）已知函式
① 求 ② 設
③ 設是否存在最小的正整數k，使對任意有成立？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由？
解：①由題
②得，故即。
③ 先證明是單調遞減數列，所以要對任意有成立
只須滿足即可，解得存在最小的正整數k=8滿足條件。
（2） 若和分別表示數列和的前項和，對任意自然數，有，，
（1）求數列的通項公式；（2）設集合，．若等差數列任一項是中的最大數，且，求的通項公式．
解：（1）當時：，
兩式相減得：，∴ ，又也適合上式，
∴數列的通項公式為．
（2）對任意，，∴，
∴ ∵是中的最大數，∴ ，
設等差數列的公差為，則，∴，即，又是乙個以為公差的等差數列，
∴，∴，∴．
13、14等差、等比數列性質及應用複習參考題
一、選擇題
1.在正整數100至500之間能被11整除的個數為（ ）
a.34b.35c.36d.37
2.是等差數列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則a3+a6+a9的值是（ ）
a.24b.27c.30d.33
3.設函式f(x)滿足f(n+1)= (n∈n*)且f(1)=2,則f(20)為（ ）
a.95b.97c.105d.192
4. 若是等差數列，首項，則使前n項和
成立的最大自然數n是： （ ）
a．4005b．4006c．4007d．4008
5.等差數列中，已知a1=－6,an=0,公差d∈n*,則n(n≥3)的最大值為（ ）
a.5b.6c.7d.8
6. 設命題甲:△abc的乙個內角為60o，命題乙:△abc的三個內角的度數成等差數列.那麼( )
(a)甲是乙的充分不必要條件 (b)甲是乙的必要不充分條件
(c)甲是乙的充要條件d)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
7.已知等差數列的公差為正數，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,則s20為（ ）
a.180b.－180c.90d.－90
8. 現有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩餘的鋼管盡可能的少，那麼剩餘鋼管的根數為（ ）
a.9b.10c.19d.29
9.由公差為d的等差數列a1、a2、a3…重新組成的數列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是（ ）
a.公差為d的等差數列b.公差為2d的等差數列
c.公差為3d的等差數列d.非等差數列
10.在等差數列中，若s9=18,sn=240,an－4=30,則n的值為（ ）
a.14b.15c.16d.17
二、填空題
11.在數列中，a1=1,an+1= (n∈n*),則是這個數列的第_________項.
12.在等差數列中，已知s100=10，s10=100，則s110
13.在－9和3之間插入n個數，使這n+2個數組成和為－21的等差數列，則n=_______.
14.等差數列,的前n項和分別為sn、tn,若=,則
15. 已知等差數列的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則的值是
16. 若數列是等差數列，則數列也為等差數列，模擬上述性質，相應地：若是等比數列，且，則{}是等比數列,其中
17. 設m∈n+，log2m的整數部分用f(m)表示，則f(1)+f(2)+…+f(1024)的值是
三、解答題（本大題共5小題，共54分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
18.若等差數列5，8，11，…與3，7，11，…均有100項，問它們有多少相同的項？
19. 在等差數列中，若a1=25且s9=s17,求數列前多少項和最大.
20. 已知f(x+1)=x2－4,等差數列中,a1=f(x－1), a2=－,a3=f(x).
(1)求x值； （2）求a2+a5+a8+…+a26的值.
21.已知數列的前n項和為sn，且滿足an+2sn·sn－1=0(n≥2),a1=.
(1)求證：{}是等差數列； （2）求an表示式；
（3）若bn=2(1－n)an(n≥2),求證：b22+b32+…+bn2<1.
13、14等差、等比數列性質及應用複習題參***
一、 選擇題：
1、 c 2、d 3、b 4、c 5、c 6、c 7、a 8、b 9、b 10、b
二、填空提：
11、6 12、－110 13、5 14、 15、 16、 17、8204
三、解答題：
18． 設這兩個數列分別為、,則an=3n+2,bn=4n－1,令ak=bm,則3k+2=4m－1.
∴3k=3(m－1)+m,∴m被3整除. 設m=3p(p∈n*),則k=4p－1.
∵k、m∈［1,100］. 則1≤3p≤100且1≤p≤25. ∴它們共有25個相同的項.
19. ∵s9=s17，a1=25,∴9×25+d=17×25+d，解得d=－2,
∴sn=25n+ (－2)=－(n－13)2+169.由二次函式性質知前13項和最大.
20.、（1）∵f(x－1)=(x－1－1)2－4=(x－2)2－4
∴f(x)=(x－1)2－4,∴a1=(x－2)2－4,a3=(x－1)2－4， 又a1+a3=2a2,解得x=0或x=3.
等差等比數列
數學高考總複習 等差數列和等比數列 知識網路 目標認知 考試大綱要求 1 理解等差數列 等比數列的概念.2 掌握等差數列 等比數列的通項公式與前n項和公式.3 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關係或等比關係，並能用有關知識解決相應的問題.4 了解等差數列與一次函式 等比數列與指數函式的關係.重點...
等差等比數列的性質總結
等差數列 1.等差數列的定義 d為常數 2 等差數列通項公式 首項 公差 d，末項 推廣 從而 3 等差中項 1 如果，成等差數列，那麼叫做與的等差中項 即 或 2 等差中項 數列是等差數列 4 等差數列的前n項和公式 其中a b是常數，所以當d 0時，sn是關於n的二次式且常數項為0 特別地，當項...
第12講等差 等比數列 2 學生
班級 姓名 學號 例1 1 設是等差數列，且，求及s15值。2 等比數列中，前n項和sn 126，求n和公比q.3 等比數列中，q 2，s99 77，求a3 a6 a99.4 項數為奇數的等差數列中，奇數項之和為80，偶數項之和為75，求此數列的中間項與項數。例2 1 設等差數列的前n項之和為sn，...