專題三數列
一、選擇題
1.(2010·全國ⅱ)如果等差數列中,a3+a4+a5=12,那麼a1+a2+…+a7=( )
a.14 b.21 c.28 d.35
解析:由等差數列性質得a3+a4+a5=3a4,
由3a4=12,得a4=4,所以a1+a2+…+a7==7a4=28.
答案:c
2.(2010·福建)設等差數列的前n項和為sn.若a1=-11,a4+a6=-6,則當sn取最
小值時,n等於
a.6 b.7 c.8 d.9
解析:∵是等差數列,
∴a4+a6=2a5=-6,
則a5=-3,d===2,得是首項為負數的遞增數列,所有的非正
項之和最小.∵a6=-1,a7=1,∴當n =6時,sn取最小.故選a.
答案:a
3.等比數列前n項的積為tn,若a3a6a18是乙個確定的常數,那麼數列t10,t13,
t17,t25中也是常數的項是
a.t10 b.t13 c.t17 d.t25
解析:a3a6a18=aq2+5+17=(a1q8)3=a,即a9為定值,所以與a1下標和為18的項
積為定值,可知t17為定值.
答案:c
4.各項均為正數的等比數列的前n項和為sn,若sn=2,s3n=14,則s4n等於( )
a.80b.26c.30d.16
解析:==,
∴qn=2.
∴s4n=sn·=30.故選c.
答案:c
5.(2010·遼寧)設是由正數組成的等比數列,sn為其前n項和.已知a2a4=1,s3=7,
則s5abcd.
解析: an>0, a2a4=aq4=1①
s3=a1+a1q+a1q2=7②
解得a1=4,q=或-(捨去),
s5===,故選b.
答案:b
二、填空題
6.(2010·福建)在等比數列中,若公比q=4,且前3項之和等於21,則該數列的通
項公式an
解析:∵是等比數列,q=4,s3==21,∴a1=1,∴an=4n-1.
答案:4n-1
7.(2009·遼寧理)等差數列的前n項和為sn,且6s5-5s3=5,則a4
解析:由題意知6-5=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4=5,
故a4=.
答案:8.數列滿足:an+1=an(1-an+1),a1=1,數列滿足:bn=anan+1,則數列
的前10項和s10
解析:由題可知an+1=an(1-an+1),整理可得-=1,則=1+(n-1)=n,所
以an=,bn=anan+1==-,故s10=b1+b2+…+b10=1-=.
答案:9.已知數列(n∈n*)滿足:an=則a2 007
解析:由an=-an-6(n≥7,且n∈n*)知an+12=-an+6=an
從而知當n≥7時有an+12=an
於是a2 007=a167×12+3=a3=3.
答案:3
三、解答題
10.如圖給出了乙個「等差數陣」:
其中每行、每列都是等差數列,aij表示位於第i行第j列的數.
(1)寫出a45的值;
(2)寫出aij的計算公式.
解:(1)該等差數陣的第1列是首項為4,公差為3的等差數列,a41=4+3×(4-1)
=13,第2列是首項為7,公差為5的等差數列,a42=7+5×(4-1)=22.
∵a41=13,a42=22,
∴第4行是首項為13,公差為9的等差數列.
∴a45=13+9×(5-1)=49.
(2)∵a1j=4+3(j-1),a2j=7+5(j-1),
∴第j列是首項為4+3(j-1),公差為2j+1的等差數列.
∴aij=4+3(j-1)+(2j+1)·(i-1)=i(2j+1)+j.
11.等差數列的前n項和為sn,a1=1+,s3=9+3.
(1)求數列的通項an與前n項和sn;
(2)設bn=(n∈n*),求證:數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列.
(1)解:由已知得∴d=2,
故an=2n-1+,sn=n(n+).
(2)證明:由(1)得bn==n+
假設數列中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數列,則b=bpbr,
即(q+)2=(p+)(r+),
∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
∵p,q,r∈n*,
∴∴2=pr,(p-r)2=0,
∴p=r.
這與p≠r相矛盾.
所以數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列.
12.已知數列的各項均為正數,前n項的和sn=,
(1)求的通項公式;
(2)設等比數列的首項為b,公比為2,前n項的和為tn.若對任意n∈n*,sn≤tn
均成立,求實數b的取值範圍.
解:(1)由a1=,解得a1=1.
當n≥2時,由an=sn-sn-1=,
得(an-an-1-2)(an+an-1)=0.
又因為an>0,所以an-an-1=2.
因此是首項為1,公差為2的等差數列,
即an=2n-1(n∈n*).
(2)因為sn=n2,tn=b(2n-1),
所以sn≤tn對任意n∈n*恆成立,
當且僅當≤對任意n∈n*均成立.
令cn=,因為cn+1-cn=-=,
所以c1>c2,且當n≥2時,cn因此≤c2=,即b≥.
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