時間：45分鐘分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證( )
a．2ab－1－a2b2≤0
b．a2＋b2－1－≤0
c．()2－1－a2b2≤0
d．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：∵a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)≥0，∴a2＋b2－1－a2b2≤0.故選d.
答案：d
2．若a，b∈r，且ab>0，則下列不等式中，恆成立的是( )
a．a2＋b2>2ab b．a＋b≥2
c.＋> d.＋≥2
解析：選項a，應該為a2＋b2≥2ab，漏了等號，故錯；選項b，只有a>0，b>0時才成立，而原題條件是ab>0，故不成立，故錯；選項c，應為＋≥，a、b同為正時成立，當且僅當a＝b>0時等號成立，故錯；選項d，正確．
答案：d
3．p＝＋＋(x>0，y>0，z>0)與3的大小關係是( )
a．p≥3 b．p＝3
c．p<3 d．p>3
解析：∵x>0，y>0，z>0，
∴p＝＋＋<＋＋＝3.故選c.
答案：c
4．若a，b∈r，則使|a|＋|b|>1成立的乙個充分不必要條件是( )
a．|a＋b|≥1 b．|a|≥且|b|≥
c．b<－1 d．a≥1
解析：由於a、b、d均可推導得|a|＋|b|≥1，僅c答案由b<－1得|b|>1，即得|a|＋|b|≥|b|>1，
但由|a|＋|b|>1，推不出b<－1，故b<－1是|a|＋|b|>1成立的充分不必要條件，應選c.
答案：c
5．已知x，y為實數，且滿足3x2＋2y2≤6，則2x＋y的最大值為( )
a．6 b.
c．11 d.
解析：由(·x＋·y)2≤[()2＋()2][( x)2＋(y)2]
化簡有(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤11.
∴2x＋y≤.
故其最大值為.
答案：d
6．已知x＋y＋z＝1，則μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值為( )
a．1 b．6
c．11 d.
解析：由柯西不等式μ＝2x2＋3y2＋z2
＝(2x2＋3y2＋z2)·(＋＋1)
≥[(x·)＋(y·)＋z·1]2
＝(x＋y＋z)2＝，
當且僅當＝＝，
即x＝，y＝，z＝時取等號．
答案：d
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．已知a，b是不相等的正數，x＝，y＝，則x，y的大小關係是yx(填「>」、「<」、「＝」)．
解析：x2＝(＋)2＝(a＋b＋2)，
y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b＋2)> (a＋b＋2)．
又x>0，y>0，∴y>x.
答案：>
8．已知a，b，c>0，且a＋b>c，設m＝＋，n＝，則m與n的大小關係是
解析：∵a，b，c>0，
∴m＝＋>＋
＝＝>＝＝n.
答案：m>n
9．(2013·湖南十二校聯考)若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，則2a＋b＋c的最小值為
解析：a2＋ab＋bc＋ac＝(a＋b)(a＋c)＝4，由a，b，c>0，可得2a＋b＋c＝a＋b＋a＋c≥2＝4，當且僅當b＝c時取等號．
答案：4
三、解答題(共55分)
10．(15分)已知a，b，c都是正數且abc＝8.求證log2(2＋a)＋log2(2＋b)＋log2(2＋c)≥6.
證明：因為a，b，c都為正數，所以2＋a≥2，2＋b≥2，2＋c≥2.又abc＝8，於是(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥2·2·2＝8＝64，當且僅當a＝b＝c＝2時等號成立．故log2(2＋a)＋log2(2＋b)＋log2(2＋c)＝log2(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥log264＝6.
11．(20分)(2012·開封模擬)已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集為m.
(1)求m；
(2)當a，b∈m時，證明：2|a＋b|<|4＋ab|.
解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
當x<－1時，由－2x<4，得－2當－1≤x≤1時，f(x)＝2<4成立；
當x>1時，由2x<4，得1∴m＝(－2,2)．
(2)證明：當a，b∈m，即－2∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)<0，
∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴2|a＋b|<|4＋ab|.
12．(20分)(2013·雲南統測)已知實數a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5.證明：
(1)(b＋c＋d)2≤2b2＋3c2＋6d2；
(2)|a－|≤.
證明：(1)∵(b＋c＋d)2＝(·b＋·c＋·d)2≤[()2＋()2＋()2](2b2＋3c2＋6d2)，
∴(b＋c＋d)2≤2b2＋3c2＋6d2.
(2)∵a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，
∴b＋c＋d＝3－a,2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，
由(1)知：(b＋c＋d)2≤2b2＋3c2＋6d2.
∴(3－a)2≤5－a2，
化簡得a2－3a＋2≤0，解得1≤a≤2.
∴－≤a－≤.
∴|a－|≤.
幾個重要不等式的證明
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6 3不等式的證明
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6 3不等式的證明
高三數學 理 一輪複習 教學目標 了解用反證法 換元法 放縮法等方法證明簡單的不等式 教學重點 證題思路的探求.教學過程 一 主要知識 反證法的一般步驟 反設 推理 匯出矛盾 得出結論 換元法 一般由代數式的整體換元 三角換元，換元時要注意等價性 常用的換元有三角換元有 已知，可設 已知，可設 已知...