設x為一n維賦範空間，其範數定義為, 1≤p<∞，證明以下命題：
1. ||x||2≤||x||1≤;
2. ||x||p≤||x||1；
3. ||x||q≤||x||p≤，p證：
1.先證||x||2≤||x||1
|x1|2+|x2|2≤(|x1|+|x2|)2 (|x1|2+|x2|2)1/2≤|x1|+|x2|
利用歸納法可證明：|x1|2+|x2|2+…+|xn|2≤(|x1|+|x2|+…+|xn|)2
假設|x1|2+|x2|2+…+|xn-1|2≤(|x1|+|x2|+…+|xn-1|)2
|x1|2+|x2|2+…+|xn-1|2+|xn|2≤(|x1|+|x2|+…+|xn-1|)2+|xn|2=|yn-1|2+|xn|2≤(|yn-1|+|xn|)2
即，|x1|2+|x2|2+…+|xn-1|2+|xn|2≤(|x1|+|x2|+…+|xn-1|+|xn|)2①
||x||2≤||x||1成立；
再證||x||1≤
有兩種方法可選（柯西-施瓦茲不等式，jensen不等式），這裡使用柯西-施瓦茲不等式證明。
||≤||x||2||y||2，令x=(|x1|,|x2|,…,|xn|)，y=(1,1,…,1)
可得(|x1|+|x2|+…+|xn|)≤(|x1|+|x2|+…+|xn|)1/2n1/2
||x||1≤成立。
根據jensen不等式，令α=2，β=1可以證明。
2.令f(x)=
p=1,f(x)=1，所以只考慮p>1的情況
從上圖可以看出f(x)在x=0時為1，先上公升，在x=1達到最大值2p-1，然後下降，但始終≥1。
所以有，即，令x=b/a，有ap+bp≤(a+b)p，同理，使用歸納法可證明：|x1|p+|x2|p+…+|xn|p≤(|x1|+|x2|+…+|xn|)p② (|x1|p+|x2|p+…+|xn|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|xn|
也即||x||p≤||x||1成立。
3. 先證||x||q≤||x||p(p|xi|p≤③
|x1|q+|x2|q+…+|xn|q=
於是，得到，即||x||q≤||x||p；
再證||x||p≤
根據jensen不等式，令α=q，β=p(q>p)可以證明。
據說可以根據赫爾德不等式證明，但實在想不到方法證。如果你能想到，不妨發封郵件給我：
參考文獻
1.邢家省, 郭秀蘭, 崔玉英. 幾個冪次不等式的應用[j]. 河南科學, 2008, 26(11):1306-1309.
2.柯西—施瓦茨不等式.
3. jensen不等式.
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