數學高考總複習：等差數列和等比數列
知識網路
目標認知
考試大綱要求：
1．理解等差數列、等比數列的概念.
2．掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式.
3．能在具體的問題情境中，識別數列的等差關係或等比關係，並能用有關知識解決相應的問題.
4．了解等差數列與一次函式、等比數列與指數函式的關係.
重點： 1．靈活應用等差數列、等比數列的定義、公式和性質解決數列問題，認識和理解數列與其它數學知識
之間的內在聯絡.
2．掌握常見的求數列通項的一般方法；
3．用數列知識解決帶有實際意義的或生活、工作中遇到的數學問題
難點： 1．等差數列、等比數列公式、性質的綜合及實際應用；
2．利用函式的觀點去認識等差數列、等比數列的通項公式和求和公式，認識和理解數列與其它數學知
識之間的內在聯絡；
3．用數列知識解決帶有實際意義的或生活、工作中遇到的數學問題。
知識要點梳理
知識點一：等差數列
1．定義：
如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差.
注意：(1)｛｝為等差數列(n∈n※)－=d (n2, n∈n※)（ d為常數）
(2)等差中項：若三個數a，x，b成等差，則x稱為數a，b的等差中項。 任意實數a，b的等差中項存在
且唯一，為
(3)證數列{}是等差數列的方法：
① (n≥2) （ d為常數）；
② 為和的等差中項。
2．通項公式：
(歸納法和迭加法)
注意：①｛｝為等差數列為n的一次函式或為常數=kn+b (n)
②式中、、n、d只要有三個就可以利用方程(組)求出第四個。
③公式特徵：等差數列{}中=kn+b是關於n的一次函式(或常數函式)，一次項係數k為公差d。
④幾何意義：點(n，)共線；=kn+b中，當k=d>0時，{}為遞增數列；當k=d＜0時，{}為遞
減數列；當k=d=0時，{}為常數列。
3．前n項和公式：
；注意：
①｛｝為等差數列為n的二次函式且常數項為0=+bn(n)
②式中有三個就可以利用方程得出餘下的二個。
4．性質：
（1）等差中項：、、成等差數列，則；
（2）通項公式的推廣：
（3）若，則；
特別，若，則
（4）等差數列中，若.
（5）公差為d的等差數列中，連續k項和，… 組成公差為k2d的等差數列。
5. 解題策略：
（1）方程思想，（2）兩式相加減，消元化簡；
知識點三：等比數列
1．定義：
如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比.
2．通項公式：
注意：①方程觀點：知二求一；
②函式觀點：函式的圖象上一群孤立的點；
③當時，若，等比數列是遞增數列；若，等比數列是遞減數列；
當時，若，等比數列是遞減數列；若，等比數列是遞增數列；
當時，等比數列是擺動數列；
當時，等比數列是非零常數列。
3．前項和公式：
，公式的五個量中，知三可求二.
4．等比數列及其前項和的主要性質：
（1）等比中項：若、、成等比數列，則；
（2）通項公式的推廣：
（3）若，則.
（4）等比數列中，若.
（5）等比數列中，為前項和，成等比數列，
且5. 解題策略：
（1）方程思想，（2）兩式相乘除化簡；
規律方法指導
學習數列，要注意如下的基本思想方法：
（1）分類討論思想.如等比數列的求和分公比等於1和不等於1兩種情形；已知數列前n項和求通項分
n=1和n≥2兩種情形.
（2）函式思想.將數列視為定義域為自然數或其子集的函式.
（3）數形結合思想.如等差數列的通項公式和前n項和公式分別視為直線、二次曲線的方程.
（4）轉化思想.如將非等差數列、非等比數列轉化為等差數列、等比數列.
（5）基本量思想.如把首項及公差、公比視為等差數列、等比數列的基本量.
（6）構造思想.如由舊數列構造新數列.
（7）特殊化思想.為研究一般問題可先退化到特殊問題的研究.在這部分內容中，處處充滿了由具體到
抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證法，這就要求我們在思考問題時要用辯證的觀點，由
具體認識到抽象，由特殊窺見一般，由有限逼近無限.其中，常用的「歸納——猜想——證明」
法就體現了這一點.
（8）一般化思想.為研究乙個特殊問題，我們先研究一般的情形.
等差等比數列的性質總結
等差數列 1.等差數列的定義 d為常數 2 等差數列通項公式 首項 公差 d，末項 推廣 從而 3 等差中項 1 如果，成等差數列，那麼叫做與的等差中項 即 或 2 等差中項 數列是等差數列 4 等差數列的前n項和公式 其中a b是常數，所以當d 0時，sn是關於n的二次式且常數項為0 特別地，當項...
等差 等比數列證明 補差1
1.等差 等比數列證明 例 1 已知數列前項和，求通項公式，並說明這個數列是否為等差數列。解 時，時，因為時，所以因為時，為常數，所以為等差數列。例2 設數列的前項的和為，且。1 設，求證 數列是等比數列 2 設，求證 數列是等差數列 證明 1 時，又 是首項為3，公比為2的等比數列。2 又，是首項...
等差等比數列的計算與證明
專題三數列 一 選擇題 1 2010 全國 如果等差數列中，a3 a4 a5 12，那麼a1 a2 a7 a 14 b 21 c 28 d 35 解析 由等差數列性質得a3 a4 a5 3a4，由3a4 12，得a4 4，所以a1 a2 a7 7a4 28.答案 c 2 2010 福建 設等差數列的...