第五講同餘的概念和性質
你會解答下面的問題嗎？
問題1：今天是星期日，再過15天就是「六·一」兒童節了，問「六·一」兒童節是星期幾？
這個問題並不難答.因為，乙個星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以「六·一」兒童節是星期一。
問題2：2023年的元旦是星期五，2023年的元旦是星期幾？
這個問題也難不倒我們.因為，2023年有365天，而365=7×52+1，所以2023年的元旦應該是星期六。
問題1、2的實質是求用7去除某一總的天數後所得的餘數.在日常生活中，時常要注意兩個整數用某一固定的自然數去除，所得的餘數問題.這樣就產生了「同餘」的概念.
如問題1、2中的15與365除以7後，餘數都是1，那麼我們就說15與365對於模7同餘。
同餘定義：若兩個整數a、b被自然數m除有相同的餘數，那麼稱a、b對於模m同餘，用式子表示為：
a≡b（modm）. （*）
上式可讀作：
a同余於b，模m。
同余式（*）意味著（我們假設a≥b）：
a-b=mk，k是整數，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因為365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因為56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因為90-0＝90=10×9。
由例③我們得到啟發，a可被m整除，可用同余式表示為：a≡0（modm）。
例如，表示a是乙個偶數，可以寫
a≡0（mod 2）
表示b是乙個奇數，可以寫
b≡1（mod 2）
補充定義：若m（a-b），就說a、b對模m不同餘，用式子表示是：
ab（modm）
我們書寫同余式的方式，使我們想起等式，而事實上，同余式與等式在其性質上相似.同余式有如下一些性質（其中a、b、c、d是整數，而m是自然數）。
性質1：a≡a（mod m），（反身性）
這個性質很顯然.因為a-a=0=m·0。
性質2：若a≡b（mod m），那麼b≡a（mod m），（對稱性）。
性質3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那麼a≡c（mod m），（傳遞性）。
性質4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼a±c≡b±d（mod m），（可加減性）。
性質5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性質6：若a≡b（mod m），那麼an≡bn（mod m），（其中n為自然數）。
性質7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那麼a≡b（mod m），（記號（c，m）表示c與m的最大公約數）。
注意同余式性質7的條件（c，m）＝1，否則像普通等式一樣，兩邊約去，就是錯的。
例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因為（2，4）≠1。
請你自己舉些例子驗證上面的性質。
同余是研究自然數的性質的基本概念，是可除性的符號語言。
例1 判定288和214對於模37是否同餘，74與20呢？
解：∵288-214=74=37×2。
∴288≡214（mod37）。
∵74-20=54，而3754，
∴7420（mod37）。
例2 求乘積418×814×1616除以13所得的餘數。
分析若先求乘積，再求餘數，計算量太大.利用同餘的性質可以使「大數化小」，減少計算量。
解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
∴ 根據同餘的性質5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：乘積418×814×1616除以13餘數是12。
例3 求14389除以7的餘數。
分析同餘的性質能使「大數化小」，凡求大數的餘數問題首先考慮用同餘的性質化大為小.這道題先把底數在同餘意義下變小，然後從低次冪入手，重複平方，找找有什麼規律。
解法1：∵143≡3（mod7）
∴14389≡389（mod 7）
∵89＝64+16+8+1
而32≡2（mod 7），
34≡4（mod7），
38≡16≡2（mod 7），
316≡4（mod 7），
332≡16≡2（mod 7），
364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），
∴14389≡5（mod 7）。
答：14389除以7的餘數是5。
解法2：證得14389≡389（mod 7）後，
36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），
∴384≡（36）14≡1（mod 7）。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。
∴14389≡5（mod 7）。
例4 四盞燈如圖所示組成舞台彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，…，這樣一直進行下去.請問開燈1小時四盞燈的顏色如何排列？
分析與解答經觀察試驗我們可以發現，每經過4次互換，四盞燈的顏色排列重複一次，而1小時=60分鐘=120×30秒，所以這道題實質是求120除以4的餘數，因為120≡0（mod 4），所以開燈1小時四盞燈的顏色排列剛好同一開始一樣。
十位，…上的數碼，再設m=a0＋a1＋…＋an，求證：n≡m（mod 9）。
分析首先把整數n改寫成關於10的冪的形式，然後利用10≡1（mod 9）。
又∵ 1≡1（mod 9），
10≡1（mod 9），
102≡1（mod 9），
10n≡1（mod 9），
上面這些同余式兩邊分別同乘以a0、a1、a2、…、an，再相加得：
a0＋a1×10+a2×102+…+an×10n
≡a0＋a1＋a2＋…＋an（mod 9），
即 n≡m（mod 9）.
這道例題證明了十進位制數的乙個特有的性質：
任何乙個整數模9同余於它的各數字上數字之和。
以後我們求乙個整數被9除的餘數，只要先計算這個整數各數字上數字之和，再求這個和被9除的餘數即可。
例如，求1827496被9除的餘數，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的餘數。
再觀察一下上面求和式.我們可以發現，和不一定要求出.因為和式中1＋8，2+7，9被9除都餘0，求餘數時可不予考慮.
這樣只需求4＋6被9除的餘數.因此，1827496被9除餘數是1。
有人時常利用十進位制數的這個特性檢驗幾個數相加、相減、相乘的結果對不對，這種檢查方法叫：棄九法。
棄九法最經常地是用於乘法.我們來看乙個例子。
用棄九法檢驗乘式5483×9117≡49888511是否正確？
因為 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），
所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。
但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1
≡8（mod9），
所以 5483×9117≠49888511，即乘積不正確。
要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確，但不能保證一定正確。
例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），
32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9
≡8（mod 9），
這時，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。
但觀察個位數字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因為末位數字5和3相乘不可能等於9。
棄九法也可以用來檢驗除法和乘方的結果。
例6 用棄九法檢驗下面的計算是否正確：
23372458÷7312＝3544。
解：把除式轉化為：
3544×7312＝23372458。
∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），
∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），
但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。
而 17（mod 9）
∴ 3544×7312≠23372458，
即 23372458÷7312≠3544。
例7 求自然數2100＋3101＋4102的個位數字。
分析求自然數的個位數字即是求這個自然數除以10的餘數問題。
解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），
3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），
4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），
∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），
即自然數2100＋3101＋4102的個位數字是5.
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