本教程共30講
第20講乘、除法的運算律和性質
我們在第1講中介紹了加、減法的運算律和性質，利用它們可以簡化一些加、減法算式的計算。本講將介紹在巧算中常用的一些乘、除法的運算律和性質，其目的也是使一些乘、除法計算得到簡化。
1.乘法的運算律
乘法交換律：兩個數相乘，交換兩個數的位置，其積不變。即
a×b=b×a。
其中，a，b為任意數。
例如，35×120=120×35=4200。
乘法結合律：三個數相乘，可以先把前兩個數相乘後，再與後乙個數相乘，或先把後兩個數相乘後，再與前乙個數相乘，積不變。即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
注意：(1)這兩個運算律中數的個數可以推廣到更多個的情形。即多個數連乘中，可以任意交換其中各數的位置，積不變；多個數連乘中，可以任意先把幾個數結合起來相乘後，再與其它數相乘，積不變。
(2)這兩個運算律常一起並用。例如，並用的結果有
a×b×c=b×(a×c)等。
例1計算下列各題：
(1)17×4×25； (2)125×19×8；
(3)125×72； (4)25×125×16。
分析：由於25×4=100，125×8=1000，125×4=500，運用乘法交換律和結合律，在計算中盡量先把25與4、把125與8或4結合起來相乘後，再與其它數相乘，以簡化計算。
解：(2)125×19×8
=(125×8)×19
=1000×19
=19000；
(3)125×72
=125×(8×9)
=(125×8)×9
=1000×9
=9000；
(4)25×125×16或
=25×125×2×8
=(25×2)×(125×8)
=50×1000
=50000，
25×125×16
=25×125×4×4
=(25×4)×(125×4)
=100×500
=50000。
乘法分配律：兩個數之和(或差)與一數相乘，可用此數先分別乘和(或差)中的各數，然後再把這兩個積相加(或減)。即
(a+b)×c=a×c+b×c，
(a-b)×c=a×c-b×c。
例2計算下列各題：
(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25；
(3)2004×25； (4)125×792。
解：(1)125×(40+8)
=125×40+125×8
=5000+1000
=6000；
(2)(100-4)×25
=100×25-4×25
=2500-100
=2400；
(3)2004×25
=(2000+4)×25
=2000×25+4×25
=50000+100
=50100；
(4)125×792
=125×(800-8)
=125×800-125×8
=(125×8)×100-1000
=1000×100-1000
=1000×(100-1)
=99000。
2.除法的運算律和性質
商不變性質：被除數和除數乘(或除)以同乙個非零數，其商不變。即
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
例3計算：
(1)425÷25；(2)3640÷70。
解：(1)425÷25
=(425×4)÷(25×4)
=1700÷100
=17；
(2)3640÷70
=(3640÷10)÷(70÷10)
=364÷7
=52。
(2)兩數之和(或差)除以乙個數，可以用這兩個數分別除以那個數，然後再求兩個商的和(或差)。即
(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，
(9-6)÷3=9÷3-6÷3。
此性質可以推廣到多個數之和(或差)的情形。例如
(1000-688-136)÷8
=1000÷8-688÷8-136÷8
=125-86-17=22。
(3)在連除中，可以交換除數的位置，商不變。即
a÷b÷c=a÷c÷b。
在這個性質中，除數的個數可以推廣到更多個的情形。例如，
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4計算下列各題：
(1)(182+325)÷13；
(2)(2046-1059-735)÷3；
(3)775÷25；
(4)2275÷13÷5。
解：(1)(182＋325)÷13
=182÷13+325÷13
=14+25
=39；
(2)(2046-1059-735)÷3
=2046÷3-1059÷3-735÷3
=682-353-245
=84；
(3)775÷25
=(700+75)÷25
=700÷25+75÷25
=28+3=31；
(4)2275÷13÷5
=2275÷5÷13
=455÷13
=35。
3.乘、除法混合運算的性質
(1)在乘、除混合運算中，被乘數、乘數或除數可以連同運算符號一起交換位置。例如，
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合運算中，去掉或新增括號的規則去括號情形：
括號前是「×」時，去括號後，括號內的乘、除符號不變。即
a×(b×c)=a×b×c，
a×(b÷c)=a×b÷c。
括號前是「÷」時，去括號後，括號內的「×」變為「÷」，「÷」變為「×」。即
a÷(b×c)=a÷b÷c，
a÷(b÷c)=a÷b×c。
新增括號情形：
加括號時，括號前是「×」時，原符號不變；括號前是「÷」時，原符號「×」變為「÷」，「÷」變為「×」。即
a×b×c=a×(b×c)，
a×b÷c=a×(b÷c)，
a÷b÷c=a÷(b×c)，
a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)兩個數之積除以兩個數之積，可以分別相除後再相乘。即
(a×b)÷(c×d)
=(a÷c )×(b÷d)
=(a÷d)×(b÷c)。
上面的三個性質都可以推廣到多個數的情形。
例5計算下列各題：
(1)136×5÷8
=136÷8×5
=17×5=85；
(2)4032÷(8×9)
=4032÷8÷9
=504÷9=56；
(3)125×(16÷10)
=125×16÷10
=256×4
(4)2560÷(10÷4)
=2560÷10×4
＝1024；
(5)2460÷5÷2
=2460÷(5×2)
=2460÷10
=246；
(6)527×15÷5
=527×(15÷5)
=527×3
=1581；
(7)(54×24)÷(9×4)
=(54÷9)×(24÷4)
= 6×6=36。
練習20
用簡便方法計算下列各題。
1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。
2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。
3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。
4.(1)(128+1088)÷8；
(2)(1040-324-528)÷4；
(3)1125÷125；
(4)4505÷17÷5。
5.(1)384×12÷8；
(2)2352÷(7×8)；
(3)1200×(4÷12)；
(4)1250÷(10÷8)；
(5)2250÷75÷3；
(6)636×35÷7；
(7)(126×56)÷(7×18)。
答案與提示練習20
1.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。
2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。
3.(1)55；(2)56。
4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。
5.(1)576；(2)42；(3)400；(4)1000；
(5)10；(6)3180；(7)56。
三年級奧數
1 計算 10 11 12 98 992 計算 100 99 98 3 2 13 計算 2 5 8 11 2004 計算 20 21 22 49 50 10 11 12 39 40 5 首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和是6 100以內除以3餘2的所有數的和是 7 在所有的兩位數中，十位數...
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