一、填空題
1．在數列中，a1＝6且an－an－1＝＋n＋1(n∈n*，n≥2)，則這個數列的通項公式an
解析：由題意得＝＋1，故數列{}是以＝3為首項，1為公差的等差數列，故＝3＋1·(n－1)＝n＋2，故an＝(n＋1)(n＋2)．
答案：(n＋1)(n＋2)
2．數列滿足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，則a3等於________．
解析：∵an＋1＝(2n－λ)an，a2＝3，a1＝1，
∴3＝(2×1－λ)×1，∴λ＝－1，∴an＋1＝(2n＋1)an，
∴a3＝(2×2＋1)×a2＝5×3＝15.
答案：15
3．若數列滿足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈n*)，則a17
解析：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6為週期重複出現，故a17＝.
答案：4．已知數列的通項公式是an＝n2＋kn＋2，若對所有的n∈n*，都有an＋1>an成立，則實數k的取值範圍是________．
解析：an＋1>an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2，
則k>－(2n＋1)對所有的n∈n*都成立，而當n＝1時－(2n＋1)取得最大值－3，所以k>－3.
答案：k>－3
5．數列滿足an＋an＋1＝(n∈n*)，a2＝2，sn是數列的前n項和，則s21
解析：∵an＋an＋1＝(n∈n*)，
∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，
a4＝2，…，故a2n＝2，a2n－1＝－2.
∴s21＝10×＋a1＝5＋－2＝.
答案：6．已知數列滿足：a4n－1＝0，a2n＝an，n∈n*，則a2 014
解析：a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.
答案：0
7．已知數列的各項均為正數，若對任意的正整數p、q，總有ap＋q＝ap·aq，且a8＝16，則a10
解析：由an>0且ap＋q＝ap·aq得16＝a8＝a＝a＝a，
a1＝，∵ap＋1＝ap·a1＝ap，∴a10＝a9＝2a8＝32.
答案：32
8．定義「等積數列」：在乙個數列中，如果每一項與它的後一項的積都為同乙個常數，那麼這個數列叫做等積數列，這個常數叫做該數列的公積．
已知數列是等積數列，且a1＝2，公積為5，tn為數列前n項的積，則t2 015
解析：t2 005＝a1(a2a3)·(a4a5)…(a2 014·a2 015)＝2·51 007.
答案：2·51 007
9．如圖是乙個n層(n≥2)的六邊形點陣．它的中心是乙個點，算作第一層，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，……，第n層每邊有n個點，則這個點陣的點數共有________個．
解析：每層的點數可構成數列，結合圖形可知a1＝1，a2＝6，…，an＝an－1＋6(n≥3)，
那麼，前n層所有點數之和為sn＝1＋
＝3n2－3n＋1.
答案：3n2－3n＋1
二、解答題
10．已知數列的前n項和為sn，若s1＝1，s2＝2，且sn＋1－3sn＋2sn－1＝0(n∈n*且n≥2)，求該數列的通項公式．
解析：由s1＝1得a1＝1，又由s2＝2可知a2＝1.
∵sn＋1－3sn＋2sn－1＝0(n∈n*且n≥2)，
∴sn＋1－sn－2sn＋2sn－1＝0(n∈n*且n≥2)，
即(sn＋1－sn)－2(sn－sn－1)＝0(n∈n*且n≥2)，
∴an＋1＝2an(n∈n*且n≥2)，
故數列從第2項起是以2為公比的等比數列．
∴數列的通項公式為an＝，(n∈n*)．
11．已知二次函式f(x)＝x2－ax＋a(x∈r)同時滿足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有乙個元素；②在定義域內存在0f(x2)成立．設數列的前n項和sn＝f(n)．
(1)求函式f(x)的表示式；
(2)求數列的通項公式．
解析：(1)∵不等式f(x)≤0的解集有且只有乙個元素，
∴δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.當a＝0時，函式f(x)＝x2在(0，＋∞)上遞增，不滿足條件②；
當a＝4時，函式f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上遞減，滿足條件②.
綜上得a＝4，即f(x)＝x2－4x＋4.
(2)由(1)知sn＝n2－4n＋4＝(n－2)2，
當n＝1時，a1＝s1＝1；
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5.
∴an＝.
12．已知數列滿足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)設bn＝an＋1－an，求數列的通項公式；
(2)求n為何值時an最小．
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得，
(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，
∴bn＋1－bn＝2n－6.
當n≥2時，bn－bn－1＝2(n－1)－6，
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，
…b3－b2＝2×2－6，
b2－b1＝2×1－6，
累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6.
又b1＝a2－a1＝－14，bn＝n2－7n－8(n≥2)，
n＝1時，b1也適合此式，故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)．
∴當n<8時，an＋1當n＝8時，a9＝a8，當n>8時，an＋1>an，
故當n＝8或n＝9時an的值最小．
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