第二十一講分類與討論（極其重要）
分類在數學中是常見的，讓我們先從乙個簡單的例子開始．
有四張卡片，它們上面各寫有乙個數字：1，9，9，8．從中取出若干張按任意次序排列起來得到乙個數，這樣的數中有多少個是質數？
因為按要求所得的數可能是一位數、二位數、三位數和四位數，我們分別給予討論．
任取一張卡片，只能得3個數：1，8，9，其中沒有質數；任取二張卡片，可得7個數：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89兩個是質數；任取三張卡片，可得12個數：
189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三個數是質數；取四張，所得的任乙個四位數的數字和是27，因而是3的倍數，不是質數．綜上所述，質數共有2＋3=5個．
上面的解題方法稱為分類討論法．當我們要解決乙個比較複雜的問題時，經常把所要討論的物件分成若干類，然後逐類討論，得出結論．
分類討論法是一種很重要的數學方法．在分類中須注意題中所含的物件都必須在而且只在所分的一類中．分類討論一般分為三個步驟，首先確定分類物件，即對誰實施分類．第二是對物件實施分類，即分哪幾類，這裡要特別注意，每次分類要按照同一標準，並做到不重複、不遺漏，有些複雜的問題，還要逐級分類．最後對討論的結果進行綜合，得出結論．
例1 求方程
x2-│2x-1│-4=0
的實根．
x2+2x-1-4=0，
x2-2x＋1-4=0，
x1＝3，x2=-1．
說明在去絕對值時，常常要分類討論．
例2 解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超過x的最大整數．
解由[x]的定義，可得
x≥[x]=x2-2，
所以 x2-x-2≤0，
解此不等式得
-1≤x≤2．
現把x的取值範圍分成4個小區間(分類)來進行求解．
(1)當-1≤x≤0時，原方程為
x2-(-1)=2，
所以x=-1(因x=1不滿足-1≤x＜0)．
(2)當0≤x＜1時，原方程為
x2=2．
(3)當1≤x＜2時，原方程為
x2-1=2，
所以(4)當x=2時，滿足原方程．
例3 a是實數，解方程
x│x+1│+a=0．
分析方程中既含有絕對值，又含有引數a，若以平方化去絕對值的話，則引入了高次方程，把問題更加複雜化了．對這種問題，宜討論x的取值範圍來求解．
解 (1)當x＜-1時，原方程變形為
x2＋x-a=0．①
當△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0時，①的解為
(2)當x≥-1時，原方程為
x2＋x＋a=0．②
又x≥-1，即
綜上所述，可得：當a＜0時，原方程的解為
例5 已知三角形中兩角之和為n，最大角比最小角大24°，求n的取值範圍．
解設三角形的三個角度數分別是α，β，γ，且有α≥β≥γ． 由題設α-γ=24．
(1)若β+γ=n，則α=180°-n，
γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．
所以156°-n≤2n-156°≤180°-n，
所以 104°≤n≤112°．
(2)若α＋γ=n，則β=180°-n，於是
所以所以 112°≤n≤128°．
(3)若α＋β=n，則γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α=2n-204°．於是
180°- n≤2n-204°≤204°-n，
所以 128°≤n≤136°．
綜上所述，n的取值範圍是104°≤n≤136°．
例6 證明：若p是大於5的質數，則p2-1是24的倍數．
分析關於整數的問題，我們常把它分成奇數和偶數(即按模2分類)來討論，有時也把整數按模3分成三類：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根據問題的需要，把整數按模n來分類．本題我們按模6來分類．
證把正整數按模6分類，可分成6類：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大於5的質數，故p只能屬於6k+1，6k+5這兩類．
當p=6k＋1時，
p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．
因k，3k＋1中必有乙個偶數，此時24│p2-1．
當p=6k＋5時，
p2-1=36k2＋60k＋24
＝12k2＋12k
=12k(k＋1)≡0(mod 24)．
所以，p2-1是24的倍數．
例7 證明
a=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
＝4max｛x，y，z｝，
其中max｛x，y，z｝表示x，y，z這三個數中的最大者．
分析欲證的等式中含有三個絕對值符號，且其中乙個在另乙個內，要把絕對值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對我們有所提示，如果x為x，y，z中的最大者，即證a=4x，依次再考慮y，z是它們中的最大值便可證得．
證 (1)當x≥y，x≥z時，
a=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.
(2)當y≥z，y≥x時，
a=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y．
(3)當z≥x，z≥y時，因為
│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，
所以a=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
從而 a=4max｛x，y，z｝．
例8 在1×3的矩形內不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩形的每條邊相應地與大矩形的一條邊平行，求兩個小矩形周長和的最大值．
解兩個小矩形的放置情況有如下幾種：
(2)兩個小矩形都「橫放」，如圖2-124及圖2-125所示，這時兩個小矩形的周長和的最大值是
2(a＋3a)＋2[1-a＋3(1-a)]＝8．
(3)兩個小矩形乙個「橫放」，乙個「豎放」，如圖2-126，這時兩個小矩形的周長和為
練習二十一
1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．
2．解關於x的不等式：a(ax-1)＞x-1.
3．解方程：││x-3│-2│=a．
4．解方程：x2-2[x]-3=0．
6．設等腰三角形的一腰與底邊分別是方程x2-bx＋a=0的兩根，當這樣的三角形只有乙個時，求a的取值範圍．
7．x，y都是自然數，求證：x2+y+1和y2＋4x＋3的值不能同時是完全平方．
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