第二章一元二次方程
花邊有多寬（1）
學習目標：
1、經歷抽象一元二次方程概念的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關係的乙個有效數學模型。
2、會識別一元二次方程及各部分名稱。
一、自主**
問題一：一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如下圖，它的長為８m，寬為５m．地毯**長方形圖案的面積為18m2。
根據這一情境，結合已知量你想求哪些量？你能根據條件列出關於這個量的什麼關係式？
問題二：你能找到關於102、112、122、132、142這五個數之間的等式嗎？
得到等式102+112+122=132+142之後你的猜想是什麼？
根據猜想繼續找五個連續整數，使前三個數的平方和等於後兩個數的平方和。
問題三：如圖，乙個長為10m的梯子斜靠在牆上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m.那麼梯子的底端滑動多少公尺？
二、總結歸納
歸納一元二次方程的概念：結合上面三個問題得到的三個方程，觀察它們的共同點，得到一元二次方程的概念及其各部分的名稱。
一元二次方程概念：含有乙個未知數並且未知數的最高次數是2的整式方程。
經過整理後，乙個一元二次方程可化簡為ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。
應從兩方面理解一元二次方程的一般形式：
(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，則有a≠0；
(2) 若a≠0(b、c可以為零)，則ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判斷乙個方程是不是一元二次方程，滿足三個條件：①含有乙個未知數並且未知數的最高次數是2;②必須是整式方程；③二次項係數不能為零。簡而言之是指經化簡後，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，則為一元二次方程，否則不是。
三、學以致用
1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,並寫出它的二次項係數、一次項係數和常數項．
2．從前有一天，乙個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬４尺，豎著比門框高２尺，另乙個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了．你知道竹竿有多長嗎？請根據這一問題列出方程．
易錯易混點
1. 下列關於x的方程：(1) ax2+bx+c=0 ；(2)；(3)；(4)中，一元二次方程的個數是（ ）
a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個
2. 判斷方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是關於x的一元二次方程。
(1)一變：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是關於x的一元二次方程，則m應滿足
(2) 二變：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是關於x的一元一次方程，則m的值為
3. m為何值時，關於x的方程是一元二次方程？
四，課堂小練
【基礎訓練】
1、一元二次方程的一般形式是a，b，c為常數，a≠０）二次項係數、一次項係數、常數項分別是
2、填表
3、請在一元二次方程的後面打「√」
(1)7x2－6x＝02)2x2－5xy＋6y＝0 （ ）
(3)2x2－－1 ＝04)x2＋2x－3＝1＋x2 （ ）
五、反思總結
讓學生通過本節課的學習，自己歸納本節的知識要點，學會了什麼？還有哪些困惑？
課後練習：
1．下列方程是關於x的一元二次方程的是（ ）
a. ax2+bx+c=0 b. k2x+5k+6=0
c. d. (m2+3)x2+2x-2=0
2．若下列方程是關於x的一元二次方程，求出m的取值範圍。
(1)； (2)
3．某城市2023年底已有綠化面積300公頃，經過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2023年底增加到363公頃，設綠化面積平均每年的增長率為x，由題意，所列方程正確的是（ ）
a. 300(1+x)=363 b. 300(1+x)2=363 c. 300(1+2x)=363 d. 363 (1-x)2=300
4． 某種產品，原來每件產品成本是700元，由於連續兩次降價，現在成本為448元，如果每次降低成本的百分數相同，求每次降低成本百分之多少？若設每次降低成本的百分數為x，則第一次降低成本後的成本為第二次降低成本後的成本為這樣可列方程得
5．已知：直角三角形的周長為，斜邊上的中線長為1，試求這個直角三角形的面積。
6．如圖 y2—01①所示，用一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然後做成如圖y2—01②所示的底面積為1500cm2的沒蓋的長方體盒子。想一想：應怎樣求出截去的小正方形的邊長？
若設小正方形的邊長為x cm，那麼這個盒子的底部的長及寬分別為cm和________cm，根據題意，可得方程整理成一般形式得
花邊有多寬（2）
學習目標：
1、結合上一節課的實際問題中所建立的一元二次方程模型，繼續深化對一元二次方程的認識。
2、經歷探索滿足一元二次方程解或近似解的過程，促進學生對方程解的理解，發展學生的估算意識和能力。
一、複習回顧
在上一節課中，我們得到了如下的兩個一元二次方程：
，即：；
，即：。
發現一元二次方程在現實生活中具有同樣廣泛的應用。上一節課的兩個問題是否已經得以完全解決？你能求出各方程中的x嗎？
一， 情境引入
活動內容：1、在前一節課的問題中，我們若設地毯花邊的寬為x(m)，得到方程：，即：；
（1）x可能小於0嗎?說說你的理由．
（2）x可能大於4嗎?可能大於2．5嗎?說說你的理由，並與同伴進行交流．
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎? 還有其他求解方法嗎?與同伴進行交流．
二、做一做
上節課我們通過設未知數得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程，把這個方程化為一般形式為
（1）你能猜出滑動距離x(m)的大致範圍嗎?
（2）小明認為底端也滑動了1 m，他的說法正確嗎?為什麼?
（3）底端滑動的距離可能是2 m嗎?可能是3 m嗎?為什麼?
（4）x的整數部分是幾?十分位是幾?
【基礎訓練】
1、把下列一元二次方程化為一般形式
x－2)2=5
2、方程的二次項係數、一次項係數、常數項分別是 ( )
a、、、； b、、、； c、、、； d、、、
3、中, 一元二次方程的個數為 ( )
a. 1 個 b. 2 個 c. 3 個 d. 4 個
4、觀察下列等式：，用含自然數的等式表示這種規律為
5、從前有一天，乙個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬４尺，豎著比門框高２尺，另乙個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了．你知道竹竿有多長嗎？請根據這一問題列出方程．
【**提高】
6、一名跳水運動員進行10m跳台跳水訓練,在正常情況下,運動員必需在踞水面5m以前完成規定的翻騰動作,並且調整好入水姿勢,否則就容易出現失誤.假設運動員起跳後的運動時間t(s)和運動員踞水面的高度h(m)滿足關係: h＝10+2.
5t-5t2.那麼他最多有多長時間完成規定動作.
課堂小結
互相交流總結探索解一元二次方程的基本思路和關鍵，以及在求解（或近似解）時應注意的問題。
學習自評
1、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①ax2=bx
a. ①②④⑥ b. ② cd. ②③
2、某學校計畫在一塊長8公尺，寬6公尺的矩形草坪的**劃出面積為16平方公尺的矩形地塊栽花，使矩形四周的草地的寬度都一樣，求四周草地的寬度應為多少？設矩形四周留下草地的寬為x公尺，根據題意下列方程不正確的是（ ）
a. 48-(16x+12x-4x2)=16 b. 16x+2x(6-2x)=32
c. (8-x)(6-x)=16d. (8-2x)(6-2x)=16
3、若關於x的一元二次方程的乙個根是0，則a的值為（ ）
a. 1b. -1c. 1或-1 d.
4、某地2023年外貿收入為2.5億元，2023年外貿收入達到了4億元，若平均每年的增長率為x，則可列出方程為（ ）
a. 2.5(1+x)2=4 b. (2.5+x%)2=4 c. 2.5(1+x)(1+2x)=4 d. 2.5(1+x%)2=4
5、若關於x的方程是一元二次方程，則m
鞏固提高
1、方程x2-2x-1=0的近似解是結果精確到十分位)
2、當x_______時，代數式x2-4x+3的值等於0.
3、某高新技術生產的生產總值，兩年內由50萬元增加到75萬元。若每年產值的增長率相同，設增長率為x，則可列方程為
4、已知a≠0，a≠b，且x=1是方程ax2+bx-10=0的乙個解，則的值是 。
5、已知：方程，當m_________時，它是一元二次方程，當m________時，它是一元一次方程。
6、一口井直徑為1.5公尺，用一根竹竿直插入井底，
竹竿高出井口半公尺，如果把竹竿斜插入井口，
竹竿剛好與井口平。（如圖y2—02所示）
求竹竿的長度，設竹竿長x公尺，
則井深為公尺，
可列方程為
7、已知x=1是關於x的方程x2-ax+1=0的根，化簡：。
8、乙個長方形的周長是30cm，面積是54cm2，求這個長方形的長和寬。
配方法(1)
學習目標：
１、會用開方法解形如的方程，理解配方法，會用配方法解二次項係數為1，一次項係數為偶數的一元二次方程；
２、經歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界中數量關係的乙個有效模型，增強學生的數學應用意識和能力；
一元二次方程學案
一 一元二次方程的相關定義 在整式方程中，只含個未知數，並且未知數的最高次數是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的 一般形式是其中叫做二次項，叫做一次項，叫做常數項 叫做二次項的係數叫做一次項的係數.1 下列方程中是一元二次方程的有 9 x2 7 x 8 3y y 1 y 3y 1 x2 2y 6...
學案 一元二次方程
第二章 一元二次方程 一 知識架構 定義 一元二次方程基本知識一般式 估計直接開方法 x m n n 0 配方法配方法 一化，二移，三配，四求解 求解方法公式法 0 分解因式法 x a x b 0 x a或x b 分割 比 0.618 二 典型例題 1 配方法 p54例1 p56例2 2 公式法 p...
一元二次方程週末輔導
一元二次方程練習 一填空題 1.已知方程3ax2 bx 1 0和ax2 2bx 5 0,有共同的根 1,則a b 2.關於的方程是一元二次方程，則 3.設是乙個直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個直角三角形的斜邊長為 4.當時，代數式的值為0 5.已知 則關於的二次方程的解是 6.方程的解是 7.若...