一、一元二次方程的相關定義
在整式方程中，只含個未知數，並且未知數的最高次數是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的
一般形式是其中叫做二次項， 叫做一次項， 叫做常數項； 叫做二次項的係數叫做一次項的係數.
1、下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0
⑤( x2+1)= ⑥-x-1=0
abcd. ⑥①⑤
2、 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)後a,b,c的值為
a．3，－10，－4 b. 3，－12，－2 c. 8，－10，－2 d. 8，－12，4
3、一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式後二次項的係數為1，一次項的係數為－1，則m的值為（ ）
a. －1 b. 1 c. －2 d. 2
4、若方程是關於x的一元二次方程，則( )
a． b．m=2 c．m=-2 d．
二、一元二次方程的常用解法：
（1）直接開平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接開平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化二次項係數為1，即方程兩邊同時除以二次項係數；②移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項，③配方，即方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，④化原方程為的形式，⑤如果是非負數，即，就可以用直接開平方求出方程的解.
如果n＜0，則原方程無解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是
.（4）因式分解法：因式分解法的一般步驟是：
①將方程的右邊化為 ；②將方程的左邊化成兩個一次因式的乘積；③令每個因式都等於0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.
3．易錯知識辨析：
（1）判斷乙個方程是不是一元二次方程，應把它進行整理，化成一般形式後再進行判斷，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式.
（3）用配方法時二次項係數要化1.
（4）用直接開平方的方法時要記得取正、負.
例1、解方程
x2—2x—1＝0
3x2－4x－1＝0xx+1=0
x -1)2 + 2x (x - 1) = 0 ．
例2 、 已知一元二次方程有乙個根為零，求的值.
三、一元二次方程的係數
1、根的判別式：關於x的一元二次方程的根的判別式為
（1）>0一元二次方程有兩個實數根，即
（2）=0一元二次方程有相等的實數根，即 .
（3）<0一元二次方程實數根.
2、一元二次方程根與係數的關係
若關於x的一元二次方程有兩根分別為，，
那麼3．易錯知識辨析：
（1）在使用根的判別式解決問題時，如果二次項係數中含有字母，要加上二次項係數不為零這個限制條件.
（2）應用一元二次方程根與係數的關係時，應注意：
① 根的判別式；
② 二次項係數，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應用根與係數的關係.
例1 當為何值時，方程，
（1）兩根相等；（2）有一根為0；（3）兩根為相反數.
練習：1、（07巴中）一元二次方程的根的情況為（ ）
ａ．有兩個相等的實數根有兩個不相等的實數根
ｃ．只有乙個實數根沒有實數根
2、（07瀘州）若關於的一元二次方程沒有實數根，則實數m的取值範圍是（ ）
a．m－1 c．m>l d．m<－1
3、一元二次方程有兩個相等的實數根，則等於 ( )
a. -6 b. 1 c. 2 d. -6或1
例2、設x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的兩個根，
求：(x1＋1)(x2＋1x12＋x22x1－x2)2 的值。
練習：1、 已知是關於的方程的兩個實數根，則的最小值是
2、已知，是關於的一元二次方程的兩個不相等的實數根，且滿足，則的值是（ ）
ａ．3或31或1
3、一元二次方程的兩個根分別是，則的值是（ ）
ａ．34、設關於x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的兩實數根為x1、x2，，若求k的值.
5、已知關於的一元二次方程．
（1）若方程有兩個相等的實數根，求的值；
（2）若方程的兩實數根之積等於，求的值．
四、一元二次方程的應用題
方法技巧：①審題；②設未知數；③列方程；④解方程；⑤檢驗根是否符合實際情況；⑥作答。
型別一、平均增長率問題
變化前數量×（1x）n＝變化後數量
1.青山村種的水稻2023年平均每公頃產7200公斤，2023年平均每公頃產8450公斤，求水稻每公頃產量的年平均增長率。
2.某種商品經過兩次連續降價，每件售價由原來的90元降到了40元，求平均每次降價率是多少？
3.某種商品，原價50元，受金融危機影響，1月份降價10％，從2月份開始漲價，3月份的售價為64.8元，求2、3月份**的平均增長率。
4.某藥品經兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率？
5.為了綠化校園，某中學在2023年植樹400棵，計畫到2023年底使這三年的植樹總數達到1324棵，求該校植樹平均每年增長的百分數。
型別二、商品銷售問題
售價—進價=利潤
一件商品的利潤×銷售量=總利潤
單價×銷售量=銷售額
1.某商店購進一種商品，進價30元．試銷中發現這種商品每天的銷售量p(件)與每件的銷售價x(元)滿足關係：p=100-2x銷售量p，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤，那麼每件商品的售價應定為多少元？
每天要售出這種商品多少件？
2.某玩具廠計畫生產一種玩具熊貓，每日最高產量為４０只，且每日產出的產品全部售出，已知生產ⅹ只熊貓的成本為ｒ（元），售價每只為ｐ（元），且ｒ ｐ與x的關係式分別為r=500+30x，p=170—2x。
（1） 當日產量為多少時每日獲得的利潤為１７５０元？
（2） 若可獲得的最大利潤為１９５０元，問日產量應為多少？
3.某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克。現該商品要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那麼每千克應漲價多少元？
4.服裝櫃在銷售中發現某品牌童裝平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。為了迎接「六一」兒童節，商場決定採取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。
經市場調查發現，如果每件童裝每降價４元，那麼平均每天就可多售出８件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那麼每件童裝應降價多少元？
5.西瓜經營戶以２元／千克的**購進一批小型西瓜，以３元／千克的****，每天可售出２００千克。為了**，該經營戶決定降價銷售。
經調查發現，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。
該經營戶要想每天盈利200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？
6、利達經銷店為某工廠代銷一種建築材料（這裡的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出後再進行結算，未售出的由廠家負責處理）。當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸。該經銷店為提高經營利潤，準備採取降價的方式進行**。
經市場調查發現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸。
綜合考慮各種因素，每售出一噸建築材料共需支付廠家及其它費用100元。（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）在遵循「薄利多銷」的原則下，問每噸材料售價為多少時，該經銷店的月利潤為9000元。（3）小靜說：
「當月利潤最大時，月銷售額也最大。」你認為對嗎？請說明理由。
7、某商場試銷一種成本為60元/件的t恤，規定試銷期間單價不低於成本單價，又獲利不得高於40%，經試銷發現，銷售量（件）與銷售單價（元/件）符合一次函式，且時，；時，；（1）寫出銷售單價的取值範圍；（2）求出一次函式的解析式；（3）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價之間的關係式，銷售單價定為多少時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
型別三、面積問題
判斷清楚要設什麼是關鍵
1、一塊長和寬分別為40厘公尺和250厘公尺的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成乙個無蓋的長方體紙盒，使它的底面積為450平方厘公尺.那麼紙盒的高是多少？
2、如圖，在寬為20m ，長為30m ，的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，餘分作為耕地為551㎡。則道路的寬為?
2、如圖某農場要建乙個長方形的養雞場，雞場的一邊靠牆（牆長18m），另三邊用木欄圍成，木欄長35m。①雞場的面積能達到150m2嗎？②雞場的面積能達到180m2嗎？
如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由。（3）若牆長為m,另三邊用竹籬笆圍成，題中的牆長度m對題目的解起著怎樣的作用?
型別四、工程問題：
1、某公司需在乙個月（31天）內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．（2）如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：a．請甲隊單獨完成此項工程出．b請乙隊單獨完成此項工程；c．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上三種方案哪一種花錢最少？
學案 一元二次方程
第二章 一元二次方程 一 知識架構 定義 一元二次方程基本知識一般式 估計直接開方法 x m n n 0 配方法配方法 一化，二移，三配，四求解 求解方法公式法 0 分解因式法 x a x b 0 x a或x b 分割 比 0.618 二 典型例題 1 配方法 p54例1 p56例2 2 公式法 p...
一元二次方程導學案
7.1一元二次方程導學案 學習目標 1 知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式 0 2 在分析 揭示實際問題的數量關係並把實際問題轉化為數學模型 一元二次方程 的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界數量關係的工具，增加對一元二次方程的感性認識。學習重點難點 1 一元二次方程的概念...
一元二次方程複習學案
知識梳理 一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法 開平方法 配方法 公式法 分解因式法 一元二次方程根的判別式.實際問題與一元二次方程.考點一 一元二次方程的概念一般形式 ax2 bx c 0 a 0 1 以下方程中 一元二次程是 a 和 b 和 c 和 d 和 2 關於x的方程 ...