第3講三角函式的恒等變換
知識梳理
1兩角和與差的三角函式公式
2.二倍角公式
～～～～～～～～～要點突破～～～～～～～～～
問題1：如何由兩角和正弦、余弦、正切公式得到二倍角的正弦、余弦、正切公式？
1．令，便可由兩角和的三角函式公式，得到對應的二倍角的三角函式公式，即
問題2：解決三角求值問題時，要注意什麼？
2．要注意分析角的範圍，要準確估算角的範圍
例：在中，為銳角，角所對的邊分別為，且，求的值；
解析：∵為銳角，
∴～～～～～～～～～典例精析～～～～～～～～～
考點一兩角和與差的正弦.余弦.正切
題型1: 順用公式給值求值
[例1]: 已知則等於（ ）
ab． c． d．
【解題思路】直接用兩角和的正切公式
【解析】b
∴．【規律總結】熟練掌握兩角和與差的三角函式公式的結構特點是解決此類題的關鍵.
【互動**】
1．已知，且，求的值。
【解析】，∴，
又∵，∴，
∴=，=．
題型2: 逆用公式——給角求值
[例2].（1）（廣東省實驗中學2009屆高三第二次階段測試）
155°cos35°－ cos25°cos235
（2【解題思路】（1）注意到；（2）注意常值代換1=
【解析】（1）原式=
（2）=．
【規律總結】三角求值題解題的一般思路是「變角、變名、變式」
變角：它決定變換的方向，通過找出已知條件和待求結論中的差異，分析角之間的聯絡，決定用哪一組公式，是解決問題的關鍵；
變名：在同乙個三角式中盡可能使三角函式的種類最少，一般考慮化弦或化切（用同角三角函式的關係式或萬能公式）；
變式：由前二步對三角式進行恒等變形，或逆用、變形用公式，使問題獲解；
【互動**】
2．（1
（2【解析】（1）原式=
==（2）=．
題型3: 變形用公式
[例3]．求值。
【解題思路】聯想到兩角和的正切公式
【解析】原式
．【規律總結】利用變形用公式給我們的計算帶來很大方便。
【互動**】
3．在△abc中，已知a、b、c成等差數列，求的值.
【解析】因為a、b、c成等差數列，又a＋b＋c＝180°，所以a＋c＝120°
從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，
得.所以
.考點二二倍角的正弦.余弦.正切
題型4：順用公式變角求值
[例4]．(執信中學2008-2009學年度第一學期高三期中考試)
已知,求的值.
【解題思路】先由誘導公式求出，再由二倍角公式求解。
【解析】.又,且
【規律總結】在三角函式的過程中,觀察條件中的角和結論中的角之間的內在聯絡是解決此類題的關鍵.
【互動**】
4. a是銳角,求，的值；
【解析】（由條件，得
∵a在銳角，，
，題型5: 逆用公式給角變角求值
[例5]．的值為（ ）
【解題思路】聯想二倍角的正弦公式
【解析】
【規律總路】見就聯想到是三角變換中常用的手段。
【互動**】
5．（1
（2）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
[解析]（1）∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×＝×
＝×＝×＝
（2）sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20°
∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×＝×
＝×＝×＝
～～～～～～～～～失誤檔案～～～～～～～～～
[例6]．已知，求及的值。
【錯因診斷】容易只考慮一種情況：
【解析】， ∴在二，三象限，
當在第二象限時，，∴，，
當在第三象限時∴，．
【糾錯反思】要根據三角函式值，判斷角的範圍，注意分類討論
【糾錯體驗】
1．已知，求，，的值。
【解析】當， ∴．
∴；；．
當， ∴．
∴；；．
搶分頻道
基礎鞏固訓練
1．. 下列各式錯誤的是( )
a. b.
c. d.
【解析】 根據公式運算, 可選d
2.（2009全國卷ⅰ文）已知tan=4,cot=,則tan(a+)=
(a) (b) (c) (d)
【解析】本小題考查同角三角函式間的關係、正切的和角公式，基礎題。
【解析】由題，，故選擇b。
3．a． b． cd．
【解析】d
4．的值為
abcd、
【解析】解法1：，故選d；
解法2：，故選d；
解法3：，故選d；
解法4：故選d；
5．，，則的值為（ ）b
a． b． cd．
【解析】
6． a. b. c. d.
【解析】 原式, 故選b
7.( 汕頭金山中學2008～2009學年度上學期高三期末考試)
已知，且，則等於（ ）
【解析】由且知故=選b
8．求值
【解析】
=；9.的值為
【解析】誘導公式變角，再逆用三角公式切入，
=已知向量與互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值
（1）∵與互相垂直，則，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，則，∴ .
綜合提高訓練
11．( 2009屆廣東五校高三第二聯考試卷)已知則的值為
a． bcd．
【解析】選d：
12．在則是（ ）b
a、銳角三角形b、鈍角三角形
c、直角三角形d、不確定
【解析】
故選b13． 已知、均為銳角，且= 1 .
【解析】, 移項整理得
14．tan20°+tan40°+tan20°·tan40°的值是_____.
【解析】tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
15．如圖是單位圓上的動點，且分別在第一,二象限.是圓與軸正半軸的交點，為正三角形. 若點的座標為. 記．
（ⅰ）若點的座標為,求的值；
（ⅱ）求的取值範圍.
【解析】（1）因為a點的座標為，根據三角函式定義可知，
得所以＝.
（ⅱ）因為三角形aob為正三角形，所以，
所以=所以基礎知識反饋卡
一．選擇題：
1. 若，，則等於（ ）d
【解析】,選d
2．設 ）b
a、 b、 c、 d、－
【解析】
故選b3. ( )
(abc) 1d)
【解析】b
4．若則等於（ ）
ab.cd.
【解析】c
5．的值為 ( )
ab c d
【解析】
選 a6. 已知∈(,)，sin=,則tan()等於
ab.7cd.－7
【解析】由則， =，選a.
二．填空題：
7． 【解析】原式=
8. 如果cos那麼cos（θ＋）的值等於 .
【解析】∵cos（θ＋）＝cosθcos－sinθsin
又∵θ∈（π，），cosθ＝－ ∴sinθ＝－
∴原式＝－×
9．（07江蘇11）若，，則_____．
【解析】
得三．解答題：
10．已知：，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）∵ ∴∵∴
（2）∵∴-
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