第二節同角三角函式的基本關係與誘導公式
[備考方向要明了]
[歸納·知識整合]
1．同角三角函式的基本關係
(1)平方關係：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商數關係：tan α＝.
[**] 1.如何理解基本關係中「同角」的含義？
提示：只要是同乙個角，基本關係就成立，不拘泥於角的形式，如sin2＋cos2＝1，tan 4α＝等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．
2．誘導公式
即α＋k·2π(k∈z)，－α，π±α的三角函式值，等於α的同名函式值，前面加上乙個把α看成銳角時原函式值的符號；±α的正弦(余弦)函式值，分別等於α的余弦(正弦)函式值，前面加上乙個把α看成銳角時原函式值的符號．
[**] 2.有人說sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈z)，你認為正確嗎？
提示：不正確．當k＝2n(n∈z)時，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；
當k＝2n＋1(n∈z)時，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.
3．誘導公式的口訣「奇變偶不變，符號看象限」中的「符號」是否與α的大小有關？
提示：無關，只是把α從形式上看作銳角，從而2kπ＋α(k∈z分別是第一，三，四，二，一，二象限角．
[自測·牛刀小試]
1．(教材習題改編)已知cos(π＋α)＝，則sin α的值為( )
ab.c. d．±
解析：選d cos(π＋α)＝－cos α＝，∴cos α＝－，
∴sin α＝±＝±.
2．tan 690°的值為( )
a．－ b.
c. d．－
解析：選a tan 690°＝tan(－30°＋2×360°)
＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
3．(教材習題改編)若tan α＝2，則的值為( )
a．－ b．－
c. d.
解析：選c ＝＝＝.
4．(教材習題改編)已知tan則cos α－sin
解析：∵tan
∴cos α－sin α＝cosπ－sinπ
＝－cos＋sin＝－＋＝.
答案：5．計算sin－cos＋tan
解析：原式＝sin－cos－tan
＝sin－cos－tan
＝－sin＋cos－＝－＋1.
答案：－＋1
[例1] 已知α是三角形的內角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出來，並求其值．
[自主解答] (1)法一：
聯立方程
由①得cos α＝－sin α，
將其代入②，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
∵α是三角形內角，
∴∴tan α＝－.
法二：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－<0且0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝.
由得∴tan α＝－.
(2)＝＝＝.
∵tan α＝－，
∴＝＝＝－.
保持本例條件不變，求：(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：由例題可知
tan α＝－.
(1)＝＝＝.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝－.
同角三角函式關係式及變形公式的應用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化．
(2)應用公式時注意方程思想的應用：對於sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.
解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β.②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β.③
由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，∴cos α＝±.
[例2] (1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
[自主解答] (1)∵＋＝π，
∴－α＝π－.
∴cos＝cos
＝－cos＝－，
即cos＝－.
(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
利用誘導公式化簡三角函式的思路和要求
(1)思路方法：①分析結構特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函式；③整理得最簡形式．
(2)化簡要求：①化簡過程是恒等變形；②結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值.
2．(1)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，則＝( )
ab．－
c．－ d.
(2)設f(α)＝，則f
解析：(1)選b ∵方程5x2－7x－6＝0的根為x1＝2，x2＝－，
由題知sin α＝－，∴cos α＝－，tan α＝.
∴原式＝＝－tan2α＝－.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
答案：[例3] 在△abc中，若sin(2π－a)＝－sin(π－b)， cos a＝－cos(π－b)，求△abc的三個內角．
[自主解答] 由已知得
①2＋②2得2cos2a＝1
即cos a＝或cos a＝－.
(1)∵當cos a＝時，cos b＝，
又a、b是三角形的內角，∴a＝，b＝，
∴c＝π－(a＋b)＝.
(2)∵當cos a＝－時，cos b＝－.
又a、b是三角形的內角，
∴a＝，b＝，不合題意．
綜上知，a＝，b＝，c＝.
1．三角形中的誘導公式
在三角形abc中常用到以下結論：
sin(a＋b)＝sin(π－c)＝sin c，
cos(a＋b)＝cos(π－c)＝－cos c，
tan(a＋b)＝tan(π－c)＝－tan c，
sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin.
2．求角的一般步驟
求角時，一般先求出該角的某一三角函式值，再確定該角的範圍，最後求角．
3 1 2同角三角函式的基本關係
使用說明 1 自學113 114頁內容，提高自學能力 2 限時完成導學案的預習案部分，找出自己的疑惑和需要解決的問題，準備課上討論 學有餘力的學生可提前完成其他部分。學習目標 1 掌握同角三角函式的基本關係式 sin2 cos2 1，tan tan cot 1 2 運用同角三角函式的基本關係式解決求...
3 2同角三角函式的基本關係及誘導公式
1 理解同角三角函式的基本關係式 sin2 cos2 1，tan 2 能利用單位圓中的三角函式線推導出 的正弦 余弦 正切的誘導公式 1 同角三角函式的基本關係 1 平方關係 sin2 cos2 1.2 商數關係 tan 2 六組誘導公式 1 誘導公式記憶口訣 對於角 k z 的三角函式記憶口訣 奇...
同角三角函式基本關係與誘導公式
1.若，則使成立的的取值範圍是 a b c d 2.已知，則 a b c d 3.的值為 4.已知，則 若為第二象限角，則 5.化簡 1 2 能力提公升 1.的值等於 a b c d 2.如果a為銳角，那麼 a b c d 3.已知，則等於 a b c d 4.湖南卷 tan600 的值是 a b ...