第七講簡單三角恒等變換
一、引言
（一）本節的地位：三角函式恒等變換是高中教學的重要知識之一，也是歷年高考必考查的內容，體現考綱對運算能力、邏輯推理能力的要求．
（二）考綱要求：通過本節的學習要掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正確運用三角公式，進行簡單三角函式式的化簡、求值和恒等證明．重點是應用公式進行三角函式式的化簡、求值和恒等證明．
（三）考情分析：一般考查對公式理解與熟練運用，以及考查運算能力、邏輯推理能力，在歷年的高考中，常常要考查，考試型別有應用公式化簡求值、恒等變形、與其它知識交匯等．對數形結合、函式與方程思想、分類與整合思想、轉化與化歸等重要思想重點考查．
二、考點梳理
1．兩角和與兩角差的正弦公式：；
余弦公式：；
正切公式：．
2．二倍角的正弦公式：；
二倍角的余弦公式：；
二倍角的正切公式：．
3．降冪公式：；．
4．解題時既要會正用這些公式，也要會逆用及變形用，特別是二倍角公式，正用──化單角，逆用──降次．
三、典型問題選講
（一）化簡（求值）問題
例1 求下列各式的值：
⑴；⑵；
⑶）.分析：本題考查三角公式的應用，會逆用及變形用，特別是二倍角公式，正用──化單角，逆用──降次．
解析：⑴[法一]原式=．
[法二]原式=．
⑵原式=
-．⑶原式=
．歸納小結：在已知角求值的式子變形中，常通過「造出特殊角」、「對偶式」來簡化計算過程．一般情況下，當是特殊角時，使用化簡式子．
例2 化簡下列各式：
（1）；
（2）．
分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及取值範圍不難找到解題的突破口；（2）由於分子是乙個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特徵，，不難得到解題的切入點．
解：（1）因為，
又因，所以，原式=．
（2）原式=
=．歸納小結：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數關係，不僅限於2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關係，同時還要注意三個角的內在聯絡的作用，是常用的三角變換．（2）化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧．（3）公式變形，．
例3 已知正實數a，b滿足．
分析：從方程的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關於程，從而可求出，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結構，可考慮引入輔助角求解．
解法一：由題設得，則
解法二：
解法三：
歸納小結：以上解法中，方法一用了集中變數的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯想，引入輔助角，技巧性較強，且輔助角公式，，或在歷年高考中使用頻率是相當高的，應加以關注；解法三利用了換元法，但實質上是綜合了解法一和解法二的解法優點，所以解法三最佳．
例4 已知求
．分析：由韋達定理可得到進而可以求出的值，再將所求值的三角函式式用tan表示便可知其值．
解法一：由韋達定理得tan，
所以tan
．解法二：由韋達定理得tan，
所以tan，．
歸納小結：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法**於熟練地掌握知識的系統結構，從而尋找解答本題的知識「最近發展區」．（2）運用兩角和與差的三角函式公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特徵，如角的關係，次數關係，三角函式名等．抓住公式的結構特徵對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特徵，有利於在解題時觀察分析題設和結論等三角函式式中所具有的相似性的結構特徵，聯想到相應的公式，從而找到解題的切入點．（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如
（二）恒等變形
例5 求證：．
分析：恒等變形問題可由一邊推證得另一邊，也可以從兩邊進行推證得出相等關係．
證法一：由題意知，所以．
所以左邊=右邊．
則原式成立．
證法二：由題義知，所以．
又，所以．
證法三：由題意知，所以．，則．
歸納小結：證明恒等式的過程就是分析、轉化、消去等式兩邊差異來促成統一的過程，證明時常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等於另一邊；（2）證明左右兩邊同等於同乙個式子；（3）證明與原式等價的另乙個式子成立，從而推出原式成立．
（三）與其他知識綜合
例6 △中，，．求．
分析：「切化弦」是解決三角問題常用的方法，再利用三角形中角的關係進行恒等變形．
解：因為，即，
所以，即，得．
所以，或(不成立)．
即，得，所以．．
又因為，則，或（捨去）．
得．歸納小結：注意三角形中角的範圍，注意分類討論．
例7 已知三點a、b、c的座標分別為，b(3，0)，c(0，3)，若，求的值．
分析：本題將向量知識與三角知識結合起來，綜合考查應用知識的能力．
解：)，
∵，∴ ．
整理得： ①
．由①平方得，∴．
即．歸納小結：正確應用，得到關於角的三角函式關係，利用二倍角、同角三角函式公式解決問題．
例8（2009，湖南）已知向量
（1）若，求的值；
（2）若求的值．
分析：（1）利用向量共線及三角函式同角關係求值，（2）利用向量模相等得出三角函式關係，求得的值．
解：（1）因為，所以於是，故
（2）由知，
所以從而，即，
於是．又由知，，
所以，或．
因此，或
歸納小結：本題考查向量的模、向量共線及三角函式化簡求角．
四、本專題總結
本節課研究三角恒等變換，主要方法有：引入輔助角、換元、降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角等常用的化簡技巧，體現化歸與轉化思想、函式與方程思想、數形結合思想等，應注意在應用公式時，更重要的是抓住公式的特徵，如角的關係，次數關係，三角函式名等.抓住公式的結構特徵對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特徵，有利於在解題時觀察分析題設和結論等三角函式式中所具有的相似性的結構特徵，聯想到相應的公式，從而找到解題的切入點．對公式的逆用公式，變形式也要熟悉．
4 4簡單的三角恒等變換答案
題型一三角函式式的化簡 例1 1 化簡2 已知cos 則sin 答案 1 cos 2x 2 解析 1 原式 cos 2x.2 由題意可得，cos2 cos sin 2 即sin 2 因為cos 0，所以0 2 根據同角三角函式基本關係式可得cos 2 由兩角差的正弦公式可得 sin sin 2 co...
簡單三角恒等變換複習
一 公式體系 1 和差公式及其變形 1 2 3 去分母得 2 倍角公式的推導及其變形 1 2 把1移項得或 因為是的兩倍，所以公式也可以寫成 或或因為是的兩倍，所以公式也可以寫成 或或 把1移項得或 因為是的兩倍，所以公式也可以寫成 或或因為是的兩倍，所以公式也可以寫成 或或 二 基本題型 1 已知...
3 2簡單的三角恒等變換
教學目的 通過例題的解答，使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式的變形，以及變換過程中體現的換元 逆向使用公式等數學思想方法的認識。加深理解變換思想，提高學生的推理能力。教學重點 引導學生以已有的十乙個公式為依據，以推導積化和差 和差化積 半形公式作為基本訓練，學習三角變換的...