案例反思
威海市第二中學
陳梅2010-6-7
威海二中陳梅
背景：為了更好地促進教師的專業發展，構建高效課堂.市教研中心制定了專題推進策略，「普通高中新課程有效教學研究」課題已經完成了「無效教學環節查詢反思」和「有效備課」專題的研究，目前已經進入「有效上課」專題的實踐研究階段.
通過不斷的學習，我對「歸結問題—深化研究—鞏固提高」的教學模式有了更深的認識，對教學本質也有了更深刻的理解.
前一段時間我和另三位老師有幸參加了一次實踐性的嘗試，講了一節《正弦函式的圖象》的公開課.課後聽了專家和老師們的點評，我深受啟發，並針對我的教學實踐以及本節課的得失與收穫做了深入的反思.
一.設計初衷
1.課題：
《正弦函式的圖象》---人教b版必修4第一章第三節的第一課時.
2.教材分析：
本小節所研究的正弦函式的圖象既是對前面所學知識的深化，也為後面正弦函式性質的學習打下基礎.本節重點是「五點法」作正弦函式的簡圖.難點是「幾何法」作圖即利用正弦線畫出正弦函式的圖象.
本節課通過有層次性的設定問題來引發學生思考，同時利用多**、實物教具等手段輔助教學.
3．學情分析：
通過對一次二次函式及指對函式的學習，學生能夠初步掌握利用列表描點法畫圖的技巧，但對利用正弦線作出正弦函式的圖象掌握起來有一定難度，特別是對這種作圖方式的深刻理解需要教師的步步引導.
4.教學設計構思：
本節課我在作教學設計時抓住了乙個突出的特點:即通過有層次性的設定問題來引發學生的思考，培養學生發現問題，提出問題的能力.我有意識地把本節課作為乙個很好的提出問題的載體，去培養學生的問題意識，訓練學生的數學思維，提高學生自主探索和合作學習的能力.
二．教學過程及反思
（一）創設情景引入課題
1.創設情景：
教師課前準備好一張4開的稍硬的白紙和一把桌布刀.課堂上當著學生的面把白紙卷起來，然後問學生：「我如果用桌布刀把紙捲傾斜著削掉一截，同學們猜一猜白紙展開後截面是什麼形狀？」
下面同學們竊竊私語、一臉興奮，有同學說可能是圓，也有同學說可能是橢圓…
師：那麼到底是什麼形狀呢？我來給大家演示一下.
教師拿桌布刀把紙捲傾斜著削成兩截，展開.一條規則的漂亮的波浪線出現在同學們的眼前.然後教師把展開後的白紙稍微錯開放在黑板上，在白紙中間立刻出現了一條醒目的波浪線.
學生驚呼：居然是這樣的形狀…一臉興奮.
師：這種波浪線的形狀就是這節課我們要研究的正弦函式的圖象（板書：正弦函式的圖象），從而引出課題.
問題情景的設定我認為達到了預期的效果，新穎的引入讓人眼前一亮，引發學生去積極思考，激起了學生強烈的好奇心和學習興趣.同時通過裁紙展示，讓學生在第一時間對本節學習的內容有了乙個形象的了解，有利於進一步展開課題.
2．複習舊知
師：通過對前面部分的學習，我們知道：實數集和角的集合之間可以建立一一對應的關係，而乙個確定的角又對應著唯一確定的正弦值.
這樣，在實數範圍內任意給定乙個，都有唯一確定的函式值與之對應，由這個對應法則所確定的函式叫做正弦函式，其定義域為.
師：那麼正弦函式的圖象我們應該怎麼畫呢？用什麼方法來畫？
生：列表描點.
師：請同學們四人一組利用列表描點法嘗試作出正弦函式的圖象.
學生開始動手，邊討論邊作圖.
設計意圖：從學生的認知規律出發，利用作圖通法---列表描點法求作正弦函式的圖象,培養學生積極動手動腦的習慣，提高合作學習的能力.同時通過在投影儀上對學生所作圖象的展示，讓學生了解這種作圖方法的缺點.
展示圖象1：
問題1：建立座標系時，x軸表示角的大小，y軸表示函式值，那麼角的表示方法我們學習了兩種：角度制和弧度制.在這裡，我們用弧度制來表示角還是用角度制來表示角更好一些？為什麼？
生：用弧度製好.
因為採用弧度制後，三角函式的自變數和函式值都選用十進位制的實數，使橫座標和縱座標的單位取得了一致.而在角度制下是辦不到的，角度制是六十進位制，三角函式是十進位制，兩者不統一，很難在直角座標系下作出準確的圖形，所以選用弧度制表示角.
展示圖象2：
問題2：除了不可避免的誤差外，還有哪些原因導致了這位同學的圖象作得不準確？
學生查詢原因：點找的太少，點找的沒有規律，沒有畫完整…
師：根本原因在於我們所找的點都是孤立的點，且這些點不一定具有代表性，不一定關鍵，點與點之間圖象的變化趨勢我們難以把握.
那麼怎樣解決這個問題呢？有沒有其它的方法來比較準確的做出正弦函式的圖象？
生：可以用單位圓中的正弦線來刻畫正弦函式.
反思：讓學生自查作圖中出現的問題，互幫互助，做到自己發現問題自己解決.教學中更注重學生的探索過程，展示知識的發生發展過程，培養學生的學習能力.
實際教學過程中，學生通過例項展示能夠發現列表描點法作正弦函式圖象的缺點，但為了避免這些缺點而採用幾何法作圖學生一時難以想到.如何讓學生能夠自然而然地聯想到正弦線，教師需要作怎樣的鋪墊,才能既自然流暢又不花費過多時間？我覺得在這個環節的處理上我做得還嫌不足，今後需加以改進和提高.
（二）探索新知，形成方法
1.幾何法作圖
師：接下來給大家十分鐘的時間請同學們在練習本上試著畫出正弦函式的圖象，可以考慮用自己的方法，也可以參照課本上的畫法.
巡視教室，找兩位同學合作板演，幫學生提前準備好單位圓和直尺以方便學生在黑板上作圖.教師對個別學生進行指導.
然後請同學詳細敘述作圖方法，同時配合學生的敘述電腦演示.
師：在剛才在作圖過程中，我們有沒有產生什麼疑問？如果有的話，請同學們提出來，我們一起討論解決.
生若有所思,沉默…
設計這一環節的目的:培養學生的問題意識,要讓學生自覺養成不但要知其然,更要知其所以然的習慣.對問題的處理不能只停留在表面,而是要抓住本質.
師:那麼我有問題想請教同學們:為什麼我們要採用這種方法畫正弦函式的圖象呢?這個問題我分解成幾個小問題,請同學們思考:
問題3：在對x取角時，為什麼取值都集中在[0，2π]這個區間上？即要先研究它在[0，2π]這個區間上的圖象？
生：因為正弦函式的圖象每隔2π個單位就重複出現一次，區間長度為2π.
師:理論依據是什麼?
生:理論依據是誘導公式：,表明在形成角的過程中，每當角的終邊所在射線繞原點旋轉一周，終邊都會重合，正弦值就會相等.
問題4：怎樣得到正弦函式在實數集上的圖象？
生:可以通過左右平移函式在[0，2π]這個區間上的圖象得到.
(師結合學生的描述,在多**上演示,以加深學生的印象.)
問題5：若我首先畫出函式在[-π,π]上的圖象，然後再平移可以嗎？
生:可以，因為角的終邊也是旋轉了一周，區間長度為2π，只是我們更習慣[0，2π]這個區間，所以才選用它.
問題6：在對x進行選點時，為什麼我們要對[0，2π]這個區間進行十二等分，不等分可以嗎？
生1:不等分也可以，但是等分取點更簡單易行，方便操作.
生2:若圖象是對稱的，則等分選取能更好的體現出圖象的對稱性.
問題7：不十二等分可以嗎？比如四等分，六等分，八等分或者二十四等分？
生1:不十二等分也可以，但在我們對圖象沒有整體的了解之前，若分點太少，則我們難以準確的描述它的圖象；若分點太多，圖象固然更準確，但我們也要兼顧作圖的繁簡程度.我們希望能用較少的時間作出相對準確的圖象，因此選用十二等分.
生2：另外還有乙個很重要的原因：十二等分之後，各分點所對應的角都是我們熟悉的特殊角，其正弦值不用查表就可求出，因此要進行十二等分.
問題8：那為什麼要用正弦線來表示正弦值呢？直接根據角的大小查表求出正弦值，不行嗎？
生:也行，但有些角的正弦值是無理數，我們只能求其近似值，這樣就不易描出對應點的準確位置，不利於精確作圖.而單位圓上的正弦線是正弦值的幾何表示，函式值y就是正弦線的數量，因此準確的函式值可以通過平移正弦線得到.
師補充：除了能準確求值以外，更重要的原因是：和列表描出孤立的點相比，通過單位圓中正弦線的變化規律即隨著的不斷增大,正弦值也在連續不斷地增大然後又減小，正弦線能很好地體現出正弦函式圖象的連續性和漸變性.
師:剛才我們通過8個分問題解決了乙個大問題:就是為什麼我們要通過這種辦法來畫出正弦函式的圖象.
問題9：我們知道列表描點法是畫出函式圖象的一種最常用最基礎的方法，那麼剛才我們的畫圖過程與列表描點法作圖相比較其本質是否相同？區別在**？
生：本質上也是描點法作圖，只不過是把列表找對應關係這一步用平移角的正弦線找點替代了.
2.五點法作圖
師：通過剛才的分析，我們對如何準確的作出正弦曲線的圖象以及為什麼要這麼做已經有所了解了.大家比劃一下正弦曲線是什麼樣的？
生形象地比劃…
師:既然大家對正弦曲線的圖象已經很清楚了，以後我們再作正弦函式的圖象，在精度要求不高的情況下，就可以不採用上面這種比較麻煩的方法了，而是先找出決定圖象形狀的幾個關鍵點，然後用光滑的曲線連線起來,作出正弦曲線的簡圖.那麼接下來的問題是：
問題10：哪些點對圖象起著關鍵性作用呢？
生觀察後大聲回答:
問題11：為什麼要選取這五個點作為關鍵點呢？
生1:因為圖象每隔2π個單位就重複出現一次，區間長度為2π，我們習慣上選取[0，2π]這一段，所以x=0,x=2π是所選區間的始末端點.另外,從圖象上看，正弦曲線具有有界性，圖象夾在y=1和y=-1這兩條平行直線之間，而x= 是這個區間上的最大值點， x= 是這個區間上的最小值點，所以選取這5個點作為關鍵點.
生2:同時x= 和x=也是函式單調區間的分界點，所以要選取.另外還選取x=π這一特殊點.
因為,即與一樣都是使的點，因此這三個點也是使函式值符號正負變換的分界點.基於以上原因，我們把這五個點作為正弦曲線的關鍵點.
師:先描出這五個關鍵點，然後再用平滑的曲線連線起來作正弦曲線的簡圖的方法叫做「五點作圖法」.在精度要求不高的情況下，我們常用五點法作圖.
正弦余弦函式圖象的說課稿
1.4.1 正弦函式 余弦函式的圖象 說課稿 成都十七中 數學組王瑋瑋 開場白 各位評委老師好，我來自成都十七中，名叫王瑋瑋，目前擔任高三文科的數學教學工作，今天我說課的題目是正弦函式 余弦函式的圖象。下面開始我的說課。首先介紹我的說課流程，我將從教材分析，學情分析，教法與學法分析，教學過程，板書設...
正弦函式圖象與性質教學設計與反思
1教學內容與內容解析 正弦函式的圖象與性質 是高中新教材人教a版必修第四冊1.4.1的內容，作為函式，它是已學過的一次函式 二次函式 指數函式與對數函式的後繼內容，是在已有三角函式線知識的基礎上，來研究正弦函式的圖象與性質的，它是學習三角函式圖象與性質的入門課，是今後研究余弦函式 正切函式的圖象與性...
正弦 余弦函式的圖象性質教學設計
一 教學目標 1 學生會用幾何法 五點法畫正弦 余弦函式的圖象 2 學生能弄清正弦 余弦函式的圖象之間的關係 二 教學重點 五點法畫正弦函式 余弦函式的圖象 三 教學難點 利用正弦線畫出函式的圖象 四 教學過程 一 問題情境 三角函式是一種重要的函式，從第一節我們就知道在實際生活中，有許多地方用到三...