若在內研究方程的實根情況，只需考察函式與軸交點個數及交點橫座標的符號，根據判別式以及韋達定理，由的係數可判斷出的符號，從而判斷出實根的情況．
若在區間內研究二次方程，則需由二次函式圖象與區間關係來確定．
表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）
表二：（兩根與的大小比較）
表三：（根在區間上的分布）
根在區間上的分布還有一種情況：兩根分別在區間外，即在區間兩側，（圖形分別如下）需滿足的條件是
（1）時2）時，
對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：
（1）兩根有且僅有一根在內有以下特殊情況：
若或，則此時不成立，但對於這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然後可以根據另一根在區間內，從而可以求出引數的值。如方程在區間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求；
方程有且只有一根，且這個根在區間內，即，此時由可以求出引數的值，然後再將引數的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區間內，如若不在，捨去相應的引數。如方程有且一根在區間內，求的取值範圍。分析：
①由即得出；②由即得出或，當時，根，即滿足題意；當時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或
二．例題練習
（1）兩個根在實數的同一側
例1．已知方程有兩個負根，求的取值範圍．
變式1：已知方程有兩個不等正實根，求實數的取值範圍。
變式2：已知二次方程的兩個根都小於1，求的取值範圍．
（2）兩個根在實數的異側
例2：已知二次方程有一正根和一負根，求實數的取值範圍。
變式1：已知二次函式與軸有兩個交點，乙個大於1，乙個小於1，求實數的取值範圍。
變式2：求實數的範圍，使關於的方程．
（１）有兩個實根，且乙個比２大，乙個比２小．
（２）有兩個實根，且滿足．（３）至少有乙個正根．
變式3：如果二次函式y=mx2+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點至少有乙個在原點的右側，試求m的取值範圍.
（3）在區間有且只有乙個實根
例3．已知二次方程只有乙個正根且這個根小於1，求實數的取值範圍。
變式：已知關於x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區間(－1，0)內，另一根在區間(1，2)內，求m的範圍.
（4）在區間有兩個實根
例4： 已知關於x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的範圍.
變式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的兩個根在-3與3之間，求a的取值範圍．
變式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個根都屬於( -3, 3)，且其中至少有乙個根小於1，求m的取值範圍．
（5）在區間有實根
例5．已知是實數，函式，如果函式在區間上有零點，求的取值範圍．
（6）二次方程實根分布的一些方法除了直接用於判別二次方程根的情況，在其它的一些場合下也可以適當運用．
例6.1．求函式y = (1例6.2．已知拋物線y = 2x2-mx+m與直角座標平面上兩點(0,0), (1,1)為端點的線段（除去兩個端點）有公共點，求m的取值範圍．
例6.3．設關於的方程r），
（1）若方程有實數解，求實數b的取值範圍；
（2）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，並求出方程的解。
變式：已知方程在上有兩個根，求的取值範圍．
二．例題選講
（1）兩個根在實數的同一側
例1．已知方程有兩個負根，求的取值範圍．
解：依題意有
．變式1：已知方程有兩個不等正實根，求實數的取值範圍。
解：由或即為所求的範圍。
變式2：已知二次方程的兩個根都小於1，求的取值範圍．
解一：二次方程兩個根都小於1，其充要條件為
（1）即為，它的解集是．
（2）即為，它的解集是．
（3）的解集是．
所以，的取值範圍是．
解二：二次方程有兩個根的充要條件是．
設兩根為，由於都小於1，即，其充要條件為：
即因此，方程兩個根都小於1的充要條件是：
以下同解法一（略）．
解三：令，原方程轉化為，即
因為原方程兩根都小於1，所以方程（*）的兩個實根都小於0，其充要條件是：
同樣可求出的取值範圍（略）．
（2）兩個根在實數的異側
例2：已知二次方程有一正根和一負根，求實數的取值範圍。
解：由即 ，從而得即為所求的範圍。
變式1：已知二次函式與軸有兩個交點，乙個大於1，乙個小於1，求實數的取值範圍。
解：由即即為所求的範圍。
變式2：求實數的範圍，使關於的方程．
（１）有兩個實根，且乙個比２大，乙個比２小．
（２）有兩個實根，且滿足．
（３）至少有乙個正根．
解：設．
（1） 依題意有，即，得．
（2） 依題意有
解得：．
（３）方程至少有乙個正根，則有三種可能：
①有兩個正根，此時可得，即． ②有乙個正根，乙個負根，此時可得，得． ③有乙個正根，另一根為０，此時可得 ． 綜上所述，得．
變式3：如果二次函式y=mx2+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點至少有乙個在原點的右側，試求m的取值範圍.
解：∵f(0)=1>0
(1)當m＜0時，二次函式圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側，符合題意.
(2）當m>0時，則解得0＜m≤1
綜上所述，m的取值範圍是.
（3）在區間有且只有乙個實根
例3．已知二次方程只有乙個正根且這個根小於1，求實數的取值範圍。
解：由題意有方程在區間上只有乙個正根，則即為所求範圍。
變式：已知關於x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區間(－1，0)內，另一根在區間(1，2)內，求m的範圍.
解：條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間(－1，0)和(1，2)內，則
，∴實數m的範圍是.
（4）在區間有兩個實根
例4： 已知關於x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的範圍.
解：據拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸交點落在區間 (0，1) 內，列不等式組 - 變式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的兩個根在-3與3之間，求a的取值範圍．
解：設f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2，則原方程兩根都屬於 (-3, 3)的充要條件為
- 故a的取值範圍是
變式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個根都屬於( -3, 3)，且其中至少有乙個根小於1，求m的取值範圍．
解：原方程即為 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程兩根分別為-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足 -3<2-3m<3 - （6）在區間有實根
例5．已知是實數，函式，如果函式在區間上有零點，求的取值範圍．
解析1：函式在區間[-1，1]上有零點，即方程=0在[-1，1]上有解，
a=0時，不符合題意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.
所以實數a的取值範圍是或a≥1.
解析2：a=0時，不符合題意，所以a≠0,又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，問題轉化為求函式[-1，1]上的值域；設t=3-2x，x∈[-1，1]，則，t∈[1,5],，
設，時，，此函式g(t)單調遞減，時， >0,此函式g(t)單調遞增，∴y的取值範圍是，∴ =0在[-1，1]上有解∈或。
（6）二次方程實根分布的一些方法除了直接用於判別二次方程根的情況，在其它的一些場合下也可以適當運用．
例6.1．求函式y = (1解：原函式即為 y (x2-3x+2)=x+1,
yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ①
由題意，關於的方程①在(1,2)上有實根．
易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，則f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程①在(1,2)上有實根當且僅當，解得y≤-5-2.
∴ 原函式的值域為 (-, -5-2].
例6.2．已知拋物線y = 2x2-mx+m與直角座標平面上兩點(0,0), (1,1)為端點的線段（除去兩個端點）有公共點，求m的取值範圍．
解：以(0,0), (1,1)為端點的線段所在直線為y=x，代入拋物線方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ①
由題意，方程①在區間(0, 1)上有實根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，則當且僅當
f(0)·f(1)<0或 m<0或 m≤3-2且m≠0．
故m的取值範圍為 (-, 0)∪(0, 3-2].
例6.3．設關於的方程r），
（1）若方程有實數解，求實數b的取值範圍；
（2）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，並求出方程的解。
分析：可用換元法，設，原方程化為二次方程，但要注意，故原方程有解並不等價於方程有解，而等價於方程在內有解．另外，方程有解的問題也可以通過參變分離轉化為求值域的問題，它的原理是：若關於的方程有解，則的值域．
解：（1）原方程為，
，時方程有實數解；
（2）①當時，，∴方程有唯一解；
②當時，.
的解為；
令的解為；
綜合①、②，得
1）當時原方程有兩解：；
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