第二講：平行四邊形（一）
【知識梳理】
1、平行四邊形：
平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：
（1）平行四邊形對角相等；
（2）平行四邊形對邊相等；
（3）平行四邊形對角線互相平分。
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
（1）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2、特殊平行四邊形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形
（2）矩形的四個角都是直角；
（3）矩形的對角線相等。
（4）矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形
（5）矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形
二、菱形
（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四條邊都相等
（3）菱形的對角線互相垂直，並且每條對角線平分一組對角.
（4）菱形的面積等於菱形的對角線相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（6）菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
三、正方形
（1）有一組鄰邊相等，並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形
（2）性質：①四個角都是直角，四條邊相等
②對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形
②有乙個角是直角的菱形是正方形
【例題精講】
【例1】填空題：
【鞏固】
1、下列說法中錯誤的是（ ）
a.四個角相等的四邊形是矩形b.四條邊相等的四邊形是正方形
c.對角線相等的菱形是正方形d.對角線互相垂直的矩形是正方形
2、如果乙個四邊形的兩條對角線互相平分，互相垂直且相等，那麼這個四邊形是 ( )
a.矩形b.菱形c.正方形 d.菱形、矩形或正方形
3、下面結論中，正確的是（ ）
a.對角線相等的四邊形是矩形b.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
c.對角線互相垂直的四邊形是菱形 d.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
4、如圖，在中，點d、e、f分別在邊、、上，且，．下列四種說法：
①四邊形是平行四邊形；
②如果，那麼四邊形是矩形；
③如果平分，那麼四邊形是菱形；
④如果且，那麼四邊形是菱形.
其中，正確的有只填寫序號）
【例2】（2015廣東）如題21圖，在邊長為6的正方形abcd中，e是邊cd的中點，將△ade沿ae對折至△afe，延長交bc於點g，連線ag.
(1) 求證：△abg≌△afg；
(2) 求bg的長.
【鞏固】（2015安順）如圖，已知點d在△abc的bc邊上，de∥ac交ab於e，df//ab交ac於f
（1）求證：ae=df．
（2）若ad平分∠bac，試判斷四邊形aedf的形狀，並說明理由．
【例4】如圖，在等邊△abc中，點d是bc邊的中點，以ad為邊作等邊△ade．
（1）求∠cae的度數；
（2）取ab邊的中點f，鏈結cf、ce，試證明四邊形afce是矩形．
【鞏固】（2015呼和浩特）分)如圖， abcd的對角線ac、bd相交於點o，ae=cf.
(1)求證：△boe ≌△dof ;
(2)若bd=ef，連線de、bf，判斷四邊形ebfd的形狀，無需說明理由.
【例5】如圖所示，在△abc中，分別以ab、ac、bc為邊在bc的同側作等邊△abd、等邊△ace、等邊△bcf.
（1）求證：四邊形daef是平行四邊形；
（2）**下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當△abc滿足條件時，四邊形daef是矩形；
②當△abc滿足條件時，四邊形daef是菱形；
③當△abc滿足條件時，以d、a、e、f為頂點的四邊形不存在.
平行四邊形（二）
【知識梳理】
由平行四邊形的結構知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，並且包含著平行線的有關性質，因此，平行四邊形是全等三角形知識和平行線性質的有機結合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四邊形有許多很好的性質，使得構造平行四邊形成為解幾何題的有力工具。
【例題精講】
【例1】如圖①，四邊形abcd是正方形， 點g是bc上任意一點，de⊥ag於點e，bf⊥ag於點f.
(1) 求證：de－bf ＝ ef．
(2) 當點g為bc邊中點時， 試**線段ef與gf之間的數量關係， 並說明理由．
(3) 若點g為cb延長線上一點，其餘條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時de、bf、ef之間的數量關係（不需要證明）．
【例2】如圖，在矩形abcd中，已知ad＝12，ab＝5，p是ad邊上任意一點，pe⊥bd於e，pf⊥ac於f，求pe＋pf的值。
【例3】如圖，在△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc，be、af分別是∠abc、∠dac的平分線，be和ad交於g，求證：gf∥ac。
【例4】如圖所示，rt△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc於d，bg平分∠abc，ef∥bc且交ac於f。求證：ae＝cf。
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
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