以數助形：通過數的運算、對數量關係的討論，研究曲線的幾何性質；
以形助數：具有幾何背景的數學結構可構造與之對應的圖形進行分析，起事半功倍之
效（在函式、不等式等常用），以形為手段的數形結合常在高考客觀題**現．
數形結合思想的解題要領：
1．借助數軸解決與絕對值有關的問題，解決數集的交、並、補運算；
2．借助函式圖象解決函式問題；如研究函式、方程或不等式的問題，可通過函式的圖象求解，其中函式的零點、圖形（圖象）的頂點是關鍵點；
3．座標法解決問題；
4．向量法：借助向量的模、夾角等解決長度、角的問題．
5．研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解；
6．型別、、、、分別與距離、斜率、截距、單位圓上的點及餘弦定理進行掛鉤而轉化．
【練習題】
1． 函式若，．
則的零點有個．
2．函式，若，則、、的大小
關係是3．當_____時，函式的最小值為
4．已知實數、滿足，若，，則
5．已知函式，在定義域中任取，則與
的大小關係是
6．若，則函式的最小值為
7．不論實數取何值，方程總有實數解，則實數的取值
範圍是 .
8．過點作圓的切線，切線長等於（為座標原點），則切線的長的最小值為
9．已知在中，，，是上的點，則點到、的距離乘積的最大值為
10．動點在圓：上，點，則的最大值為
11．設關於的方程在上有兩個相異解、，
則實數的取值範圍是________．
12．已知，，且方程與方程都有實數根，則的最小值為
13．曲線與直線有兩個交點時，實數的取值範圍
是14．軌跡上的任意一點滿足．則的取值範圍是____；
（2）的最大值為_______；（3）的最小值為
15．已知函式．
（1）討論函式零點的個數；
（2）當時，不等式在上恆成立，求實數的取值範圍．
16．已知直線：；直線：；直線：．設分別是直線
上與點、的距離之和最小的點，求面積．
17．點是曲線上的動點，、是曲線的焦點，是座標原點，若點是的角平分線上一點，且，求的取值範圍．
18．定義函式：對於每乙個實數，是、、中的最小值，
求的表示式及最大值．
19．曲線上任一點到點，的距離的和為，曲線與軸的負半軸、正半軸依次交於、兩點，點在曲線上，且位於軸上方，．
（1）求曲線的方程；（2）求點的座標；（3）以曲線的中心為圓心，以線段為
直徑作圓，過點的直線截圓的弦長為，求直線的方程．
20．設，若，，．證明：
（1），且；（2）方程在上有兩個實根．
19．解：（1）設g是曲線上任一點，依題意，
∴曲線上任一點是焦點、，長軸長的橢圓，
由，得，又半焦距，故短半軸長，
∴所求的橢圓方程為；
（2）由已知、，設點p的座標為，則，
，由已知得
，則，解得，或．
由於，所以只能取，於是．所以點；
（3）圓的圓心圓，半徑，其方程為．
若過點的直線的斜率不存在，則其方程為，這時，圓心到的距離，
∴，符合題意；
若過點的直線的斜率存在，則設直線的方程為．
即。圓心到的距離．
∴．故，
∴．故直線的方程為．
綜上所述得，直線的方程為或．
20．證明：（1）因為，，所以，.
由條件，消去，得；
由條件，消去，得，.故.
（2）拋物線的頂點座標為
由，得.又，．
而，故方程在區間與上分別有一實根，從而方程在上內有兩個實根.
數形結合思想
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數形結合思想
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