我們學習的數學內容或以「數」的形式呈現，例如代數式、方程、不等式、函式關係式等，或以「形」的形式呈現，例如線與角、三角形、四邊形、圓、函式圖象等。「數」與「形」在描述數學問題時各有鞦韆，密切相關。正如華羅庚先生所說的那樣「數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休」數形結合思想就是把對數量關係的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，尋找解題思路。
對於數形結合思想的應用主要體現在以下幾方面：
一、 實數與數軸
例數a，b在數軸上的位置如圖所示，那麼下列各式正確的是（ ）
a 、b＞a b 、-a＞-b
c、-a＜b d、-b＞a
分析：由於數軸上右邊的點所表示的數大於左邊的點所表示的數，可以把a,b的相反數的位置也在數軸上表示出來，根據其位置比較大小。
【利用數軸上的點表示實數就是「化數為形」，對於相反數、絕對值等基本概念，可從兩數的數量關係和數軸上的位置兩個角度相結合進行理解。】
二、 函式與影象
例 （2023年內蒙古呼和浩特）已知二次函式y=ax+bx+c(a≠0)的影象如圖所示，則直線y=ax+b與反比例函式y=ac/x在同一座標系內的大致影象為（ ）
分析：首先應根據二次函式的影象確定a,b,c的符號，再選擇與之相符的一次函式和反比例函式影象。【多個函式的影象在同一座標系中表示的時候，要注意相同字母的取值是一致的。
解此類選擇題，除了直接法，還經常用排除法和特殊值法解答。】
三、 圖形中的函式關係
例如圖，在平行四邊形abcd中，ac=4，bd=6，p是bd上的任一點，過p作ef∥ac，與平行四邊形的兩條邊分別交於點e，f.設bp=x,ef=y，則下面能反映y與x之間關係的影象是（ ）
分析：判斷y與x表示的函式的影象必須先求出y與x的函式表示式。注意兩個變數的取值範圍一定要保證圖形存在。
在本題點p的不同位置導致有不同的表示式。【本題中對於bp與ef之間的表達經歷了「幾何圖形——函式關係式——函式圖象」的過程。對同一數學內容的多種刻畫方式，體現了數學知識之間的密切聯絡。
】針對練習：
1、 實數a,b在數軸上對應點的位置如圖所示，則必有（ ）
a、 a+b＞0 b、a-b＜0
c、ab＞0 d、a/b＜0
2、在同一直角座標系內，二次函式y=ax+(a+c)x+c與一次函式y=ax+c的大致影象可能是（ ）
３、矩形abcd中的頂點a,b,c,d按順時針方向排列，若在平面直角座標系內，b,d兩點對應的座標分別是（2,0），（0,0），且a,c兩點關於x軸對稱，則c點對應的座標是（ ）
a、（1,1） b、（1，-1）c、（1，-2）d、（1,2）
4、如圖，在平面直角座標系中，⊙o交x軸於a,b兩點，直線fa⊥x軸於點a，點d在fa上，且do平行⊙o的弦mb，連線dm並延長交x軸於點c.
（1）判斷直線dc與⊙o的位置關係，並給出證明；
（2）設點d的座標為（-2,4），試求mc的長及直線dc的解析式。
數形結合思想
2 以 形 變 數 雖然形有形象 直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對於較複雜的 形 不但要正確的把圖形數位化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把 形 正確表示成 數 的形式，進行分析計算。解題的基本思路 明確題中所給條件和所求的目標...
數形結合思想
七個 數學思想 函式與方程的思想 分類與整合的思想數與形結合的思想 化歸與轉化的思想特殊與一般的思想 有限與無限的思想或然與必然的思想 微專題 數與形結合的思想的研究與拓展 1.對於方程或方程組的解的個數問題,用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖象交點的個數.例1 2005年，上海卷 設定義域為r的...
數形結合思想
數學二輪複習 數學思想方法選講 學習目標 數形結合就是在研究數學問題時，由數思形，以形思數，數形結合考慮問題的一種思想方法.運用數形結合方法研究數學問題，善於溝通代數與幾何.學習難點 靈活進行數形結合.教學過程 1.構造數軸或直角座標系解決某些問題 例1 已知 a b均為負數，c為正數，且 b a ...