西南大學網路與繼續教育學院
畢業**
**題目：
學生姓名
學號型別網路教育
專業數學與應用數學
層次專公升本
指導老師
日期目錄1 引言 1
2 數形結合思想的概念 1
3 數形結合思想在中學數學中的應用 2
3.1 2
3.1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關係問題 2
3.1.2 利用數軸解決集合的有關運算 3
3.2 數形結合思想在解方程中的應用 3
3.3 數形結合思想在解不等式中的應用 4
3.4 數形結合思想解決最值、值域問題 6
3.5 數形結合思想在解析幾何中的應用 7
4 培養學生數形結合思想的一些教學措施 8
結束語9
參考文獻 10
致謝 11
摘要在中學數學中有很多數學方法，其中數形結合思想是中學數學中一種重要方法，它將代數與幾何相結合，利用數形之間相互轉換，有利於分析題中的數量之間關係，豐富想象，化繁為簡，化難為易，一方面,借助於圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關係形象化、簡單化,給人以直覺的啟示．另一方面,將圖形問題轉化為代數問題,以獲得精確的結論．提高分析和解題的能力從而達到簡易的解題方法，最終方便我們的解題．我將從以下幾個方面來**數形結合思想在中學數學中的應用：（1）在集合中的應用；（2）在解方程中的應用；（3）在解不等式中的應用；（4）在解析幾何上的應用；（5）在解決最值、值域問題上的應用．通過分析、比較和歸納充分展現數形結合思想在解題中的特點和優越性，從而在實際教學中要將數形結合思想融匯到課堂中，培養學生加強數形結合思想的意識。
關鍵詞：中學數學 ; 數形結合;應用; 思想方法
一、 緒論
在數學思想中，有一類思想是體現基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數學思想．中學階段的基本數學思想包括：分類討論的思想、數形結合的思想、變換與轉化的思想、整體思想、函式與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等等．中學數學中處處滲透著基本數學思想，如果能使它落實到學生學習和運用數學的思維活動上，它就能在發展學生的數學能力方面發揮出一種方**的功能．在這些數學思想方法中數形結合思想是一種很重要的方法，它貫穿於整個中學數學的課程．
一直以來數與形就是兩個不可分割的物件，他們在一定程度上可以相互轉換，我國著名數學家華羅庚曾說過：「數形結合百般好，隔裂分家萬事非」，即數形結合在一起好處很多，而獨立分開卻會帶來很多麻煩，從這可以看出數與形的基本性質，數與形是不可分割的，數形結合在實際問題中是緊密結合在一起的．而數形結合主要是指數與形之間的一一對應關係．例如函式圖象與函式表示式之間的關係．
對中學數學中數形結合思想的研究有助於我們更好的掌握中學數學知識，增強解題能力，特別是在一些題目中如選這題、填空題，在小題目中經常考察數形結合思想，如果熟練掌握了數形結合思想並加以巧妙利用，那麼我們將取得事半功倍的效果，能幫助我們在高考中能取得時間和效率的優勢，最終讓你取得優異成績．那麼接下來我們將要研究數形結合思想在我們中學中到底有哪些用處，我們解什麼樣問題時需要用到數形結合思想？那麼我們平時又該如何培養自己的數形結合思想呢？
（一） 數形結合思想的概念
數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究物件，它們在一定條件下可以相互轉化．中學數學研究的物件可分為數和形兩大部分，數與形是有聯絡的，這個聯絡稱之為數形結合，或形數結合．作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是「以數解形」，而第二種情形是「以形助數」．「以數解形」就是有些圖形太過於簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等．
數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質；另外，由於使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．
數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函式的值域、最值問題中，在求複數和三角函式解題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免複雜的計算與推理，大大簡化了解題過程．這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野．
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化．在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定引數的取值範圍．
縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果．
（二） 數形結合思想在中學數學中的應用
3.1 數形結合思想在集合中的應用
3.1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關係問題
一般情況我們用圓來表示集合，兩個圓相交則表示兩個集合有公共的元素，兩個圓相離就表示兩個集合沒有公共的元素．利用韋恩圖法能直觀地解答有關集合之間的關係的問題．
例1．某校先後舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學807人，物理739人，化學437人；至少參加兩科的：數理593人，數化371人，理化267人；三科都參加的213人，試計算參加競賽總人數．（選自《王后雄高考標準詮釋》）
解：我們用圓a、b、c分別表示參加數理化競賽的人數，那麼三個圓的公共部分正好表示同時參加數理化小組的人數．用表示集合的元素，則有：
即：參加競賽總人數為人.
3.1.2 利用數軸解決集合的有關運算
例2．已知集合,
⑴若，求的範圍．
⑵若，求的範圍．
分析：先在數軸上表示出集合a的範圍，要使，由包含於的關係可知集合b應該覆蓋集合a，從而有： ，這時的值不可能存在．要使，
當時集合a應該覆蓋集合b，應有成立，即．
當時，，顯然成立．故時的取值範圍為：
在集合問題中，有一些常用的方法如韋恩圖法，數軸法取交並集，在例題一中通過畫韋恩圖表示出各集合，可以直觀形象的表現出各部分數量間的關係 ，本題主要強化學生數形結合能力，解此類題目的技巧與方法是畫出圖形，形象的表示出各數量關係間的聯絡，從而求解．在解例題二這一類題目時要先化簡集合，確定各集合之間的包含關係，進一步在數軸上表示出來，通過數軸簡便求解．
3.2 數形結合思想在解方程中的應用
在很多情況下我們對於一些比較複雜的方程不能使用常規的方法去解，也不能使用求根公式，以至於無法求解，那麼我們採用數形結合思想，將方程的跟轉化為求函式的交點，通過作圖可以很好的解答出來．
例3．設方程，試討論取不同範圍的值時其不同解的個數的情況．
解：我們可把這個問題轉化為確定函式影象交點個數的情況，因函式始終表示平行於軸的所有直線（無論取何值），函式可以先轉換成從函式，然後根據二次函式圖象性質畫出影象，進一步畫出的圖象，從而可以直**出：
（1）當時，與沒有交點，這時原方程無解；
（2）當時，與有兩個交點，原方程有兩個不同的解，分別是；
（3）當時，有四個不同交點，原方程不同解的個數有四個；
（4）當時，有三個交點，原方程不同解的個數有三個；
（5）當時，有兩個交點，原方程不同解的個數有三個．
通過影象我們可以清楚的看出k在什麼範圍內兩個函式它們交點的個數，從而大大的簡化了我們做題，提高了做題的效率．在方程意義下去研究二次方程且帶有字母代數的，往往非常棘手，但如果先把它轉化成二次函式，並畫出二次函式圖象，在運用圖象的性質去研究，問題就迎刃而解了，本題就是很好的佐證，將二次函式圖象與一次函式圖象相結合，再根據k的範圍就能很快得出交點個數，即方程解的個數．所以在今後解類似題目時可以將複雜的代數轉化成函式，再畫出影象．
3.3 數形結合思想在解不等式中的應用
解不等式,就是要對不等式進行同解變形,使之變為與原不等式同解的最簡不等式.不等式靈活變換的特點和廣泛應用的價值對培養學生能力，發展學生思維提出了教高的教學要求.結合圖形研究,可以避免複雜的討論,化繁為簡.
例4解不等式
解:移項得 ， 通分得
即由序軸標根法可知:原不等式的解為： 或
注:我們把不標註原點和沒有長度單位,只反映任意兩個實數的大小順序的數軸稱為序軸,用序軸標根法解不等式的步驟是:將的個根在序軸上標註出來，這個根將序軸分成個區間，則最右乙個區間的值使，然後自右向左的符號依次「」「」相間.
當中有重因式時,可把奇次重因式改為一次單因式,把偶次重因式棄掉,並且去掉使偶次重因式為零的實數.
對一些不等式問題，我們可以借助所給圖形，仔細觀察研究圖形，揭示出圖形中所蘊含的數量關係，從而運用所學知識加以解決．
例5．解關於的不等式．
解：設，.
令,解之得．
分別在同一座標系中作出和在時的函式圖象；如下圖所示：
我們通過觀察圖象可知：
當時，和的函式值相等；
當時，；
當時，；
從而可知原不等式的解為．
通過以上兩個例子,大體說明了數形結合在不等式教學中的應用. 在數學教學中,應抓住數形結合的解題契機:(1)在審題時與解題前,運用數形結合的思想方法勾畫題目大意,完善認識結構,確定解題思路.
(2)在解題過程中,通過適當轉換變形後,運用數形結合的思想方法調整解題背景,從而簡捷流暢地得到解題結果.其實,數形結合滲透在中學數學的每乙個部分,教學中,要做好這種「數」和「形」關係的揭示與轉化，以形數相結合的原則進行教學,這就要求我們切實掌握形數相結合的思想與方法,以形數相結合的觀點鑽研教材,理解數學中的有關概念、公式與法則,掌握形數相結合進行分析問題與解決問題的方法,從而提高運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和解題能力.
3.4 數形結合思想解決最值、值域問題
高考數學思想數形結合
高考要求 數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其 數 與 形 結合，相互滲透，把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題 幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關係和空...
數形結合思想
2 以 形 變 數 雖然形有形象 直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對於較複雜的 形 不但要正確的把圖形數位化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把 形 正確表示成 數 的形式，進行分析計算。解題的基本思路 明確題中所給條件和所求的目標...
數形結合思想
七個 數學思想 函式與方程的思想 分類與整合的思想數與形結合的思想 化歸與轉化的思想特殊與一般的思想 有限與無限的思想或然與必然的思想 微專題 數與形結合的思想的研究與拓展 1.對於方程或方程組的解的個數問題,用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖象交點的個數.例1 2005年，上海卷 設定義域為r的...