「七個」數學思想
函式與方程的思想
分類與整合的思想數與形結合的思想
化歸與轉化的思想特殊與一般的思想
有限與無限的思想或然與必然的思想
微專題：數與形結合的思想的研究與拓展
1.對於方程或方程組的解的個數問題, 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖象交點的個數.
【例1】(2023年，上海卷)設定義域為r的函式，則關於的方程有7個不同實數解的充要條件是（ ）
(a)且b)且
(c)且d)且
【分析及解】畫出函式的圖象（圖3-1）,該影象關於對稱,且,
令,若有7個不同實數解,
則方程有2個不同實數解,且為一正根,一零根.
因此,且,故選(c).
【例2】（2004湖北卷）兩個圓
與的公切線有且僅有（ ）
a. 1條 b.2條 c. 3條 d. 4條
【分析及解】畫出圓和（圖3-2）,可知,兩圓相交,故只有兩條外公切線.
【例3】(1991全國卷) 圓到直線的距離等於的點共有（ ）.
（a）1個 (b)2個 (c) 3個 (d)4個
【分析及解】本題涉及到圓與直線的位置關係,為求點的個數,就要解方程組,有一定的運算量,但是,題目只要求點的個數,而不要求點的座標,所以可以不解出方程,因此,可以借助於圖形求解.
畫出圓,
圓心直線的距離
,所以過圓心且與直線平行的直線與圓的交點符合題目要求.
又因為圓的半徑是,設半徑垂直於已知直線,則到直線的距離也是,於是點也符合題目要求.
因此符合題目要求的點共有三個:,.故選(c).
2.對於引數範圍的問題, 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論引數的幾何意義的範圍.
【例1】 (2007全國ⅱ卷,理，文)函式的乙個單調增區間是（ ）
a． b． c． d．
【分析及解】只要畫出的圖象（圖3-4）,就可以得到要選的選項.
【例2】（2006湖南卷，理）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的斜率的取值範圍是：
【分析及解】 圓整理為
，∴圓心座標為(2，2)，半徑為3，
要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應小於等於（圖3-6），
∴，【例3】已知方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值範圍.
【分析及解】已知方程化為.
作函式的圖象，
已知方程有兩個實數根就是兩個函式的圖象有兩個交點，由圖3-7可知，只有，即時。才有可能。故實數的取值範圍是.
【例4】已知方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值範圍.
【分析及解】已知方程化為.
作函式的圖象，這是以為圓心,以為半徑,在軸上方的半圓,再作函式的圖象,這是以為斜率.且過點的直線.已知方程有兩個實數根就是直線與半圓有兩個交點，設切半圓於，由圖3-8可知，斜率應滿足
。，因為為圓的切線，所以，圓心到直線的距離等於半徑，即，解得，所以，實數的取值範圍為.
3.對於最大值或最小值的問題, 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖形的極端位置.
【例1】 (2006浙江卷,理)對,記,函式
的最小值是 .
【分析及解】畫出函式和的圖象（圖3-11），由的定義,可得，則.
【例2】(1990全國卷)如果實數滿足等式那麼的最大值是( ).
（a） （b） （c） （d）
【分析及解】根據已知等式,畫出以為圓心,以為半徑的圓,則的幾何意義是圓上一點與原點所連直線的斜率.
顯然,的最大值是過原點與圓相切的直線的斜率（圖3-12）,由可得.
於是,的最大值是,故選（d
【例3】(2008四川卷,理16)設等差數列的前項和為，若，則的最大值為 ．
【分析及解】
由題意，，
即 ，
，．建立平面直角座標系，畫出可行域（如圖3-13），
畫出目標函式即直線，
當直線過可行域內點時截距最大，此時目標函式取最大值．
4.對於求值或比較大小的問題, 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是借助於圖形，進行觀察與計算。
【例1】（2007天津卷,理）設均為正數,且
則( ).
a. b. c. d.
分析及解】由題意畫出函式
的圖象（圖3-15:
從圖象可得,故選(a).
【例2】 (2005江蘇卷)△abc中，則△abc的周長為( ).
ab.cd.
【分析及解】本題用三角恒等變形和正弦定理通過一定量的計算可以完成,但是注意到數形結合,可以很快解決問題.
為此,延長到,使（圖3-16）,則 ,
由正弦定理,即,由此,選(c).
【例3】（2007全國ⅰ卷，理）下面給出的四個點中，到直線的距離為，且位於表示的平面區域內的點是（ ）
a． b． c． d．
【分析及解】畫出表示的平面區域（圖3-19）, 到直線的距離為的點在直線及上,顯然,符合要求的點在直線上,結合選項可得c.
【例4】設,試比較和的大小.
【分析及解】由式子的結構可知,的的幾何意義是連線兩點的直線的斜率.,於是,
可以畫出的圖象（圖3-20）,研究兩點和與連線的斜率.
由圖象可知, ,即.
5.對於解方程或不等式的問題, 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是研究影象的相對位置或交點的位置。
【例1】（2004湖南卷） 設分別為定義在上的奇函式和偶函式，當時，，且，則不等式的解集是（ ）.
（ab）
（cd））
【分析及解】一為上奇函式，一為上偶函式，則為奇函式，
而，則在時為增函式，
本題等價於函式為奇函式，，且時，為增函式，求的解集，畫出影象（圖3-24），不難求出的解集為（d）.
顯然,的解為
【例2】(2000全國卷) 設函式,其中,解不等式.
【分析及解】本題只是試題的第(ⅰ)問.
不等式可化為，
作函式的圖象，它是雙曲線的上支，
作函式的圖象，它是過的直線系，
不等式的意義是雙曲線在直線的下方時，橫座標的取值.從圖象可以看出,
當時, 函式的圖象的右半部分在直線的下方,因此,不等式的解是,
當時, 直線與的圖象交於兩點.
解方程得,於是解為.
由以上,不等式的解集為: 當時, , 當時,
【例3】(2003全國卷)設函式，若，則的取值範圍是( ).
a.（，1b.（，）
c.（，）（0，） d.（，）（1，）
【分析及解】本題可以直接求解，但需要解兩個不等式組，如果畫出函式
的圖象，再畫出直線的圖象（如圖3-24），
從圖象可以看出，兩圖象的交點是，
由此而得，的取值範圍是或，因而選（d）.
6.運用圖形分析法解題需要注意的問題
在運用圖形分析幫助解題的過程中也容易出現一些誤區,例如,圖形畫得不夠完整,不夠準確, 觀察圖形不夠仔細,圖形的選擇不夠合理等,都會出現解題錯誤,所以,在解題時,有時還要與運算相結合.
(1) 圖形畫得不夠完整,導致解題失誤.
【例1】求方程的解的個數.
【分析及解】有的同學在是這樣作的:
畫出和的圖象,觀察圖象(圖3-25)的交點,得到解的個數為.
這個結論是錯誤的,原因在於圖象畫得不夠完整,忽略了函式的圖象比圖象的增長速度要快.
事實上,這兩個函式的圖象在時,有乙個交點,而在時,有兩個交點(圖3-26),因此, 方程有三個解.
(2) 圖形畫得不夠準確
【例2】求方程的解的個數.
【分析及解】有的同學畫出和的草圖(圖3-27),就斷言,方程只有乙個解,
.實際上,室內圖象畫得不準確所致,準確地畫出圖象(圖3-28),可知有三個解.
(3)觀察圖形不夠仔細
【例3】求方程的解的個數.
【分析及解】由於,而,則,因此,只需畫出的圖象即可.
有的同學觀察圖象(圖3-29),得出有7個交點,實際上,觀察得不夠仔細,因為當時, ,而當時, ,所以,點不是兩個函式圖象的交點,故在上, 兩個函式圖象有兩個交點,而不是乙個交點,因此, 方程的解的個數為9而不是7.
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