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高考要求
數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其「數」與「形」結合，相互滲透，把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關係和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決運用這一數學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特徵
重難點歸納
應用數形結合的思想，應注意以下數與形的轉化
（1）集合的運算及韋恩圖
（2）函式及其圖象
（3）數列通項及求和公式的函式特徵及函式圖象
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線
以形助數常用的有借助數軸；借助函式圖象；借助單位圓；借助數式的結構特徵；借助於解析幾何方法
以數助形常用的有借助於幾何軌跡所遵循的數量關係；借助於運算結果與幾何定理的結合
典型題例示範講解
例1設a=，b=，c=，若cb，求實數a的取值範圍
命題意圖本題借助數形結合，考查有關集合關係運算的題目
知識依託解決本題的關鍵是依靠一元二次函式在區間上的值域求法確定集合c 進而將cb用不等式這一數學語言加以轉化
錯解分析考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯，不能分類而論巧妙觀察圖象將是上策不能漏掉a＜–2這一種特殊情形
技巧與方法解決集合問題首先看清元素究竟是什麼，然後再把集合語言「翻譯」為一般的數學語言，進而分析條件與結論特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決
解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函式
∴–1≤y≤2a+3，即b=
作出z=x2的圖象，該函式定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下
①當–2≤a≤0時，a2≤z≤4即c=
要使cb,必須且只須2a+3≥4得a≥與–2≤a＜0矛盾
②當0≤a≤2時，0≤z≤4即c=，要使cb，由圖可知
必須且只需
解得≤a≤2
③當a＞2時，0≤z≤a2，即c=，
要使cb必須且只需
解得2＜a≤3
④當a＜–2時，a=此時b=c=，則cb成立
綜上所述，a的取值範圍是(–∞,–2)∪［,3］
例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈z)求證
命題意圖本題主要考查數學代數式幾何意義的轉換能力
知識依託解決此題的關鍵在於由條件式的結構聯想到直線方程進而由a、b兩點座標特點知其在單位圓上
錯解分析考生不易聯想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二
技巧與方法善於發現條件的幾何意義，還要根據圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數形結合方法完成解題
證明:在平面直角座標系中，點a（cosα,sinα）與點b（cosβ,
sinβ）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖
從而 ｜ab｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
又∵單位圓的圓心到直線l的距離
由平面幾何知識知｜oa｜2–(｜ab｜)2=d2即
∴ 例3曲線y=1+ (–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個交點時，實數r的取值範圍
解析方程y=1+的曲線為半圓，
y=r(x–2)+4為過（2，4）的直線
答案 （］
例4設f(x)=x2–2ax+2,當x∈［–1,+∞)時，f(x)＞a恆成立，求a的取值範圍
解法一由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恆成立
x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恆成立
考查函式g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在［–1,+∞］時位於x軸上方
如圖兩種情況
不等式的成立條件是
(1)δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)
(2) a∈(–3,–2，
綜上所述a∈(–3,1)
解法二由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)
令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一座標系中作出兩個函式的圖象
如圖滿足條件的直線l位於l1與l2之間，而直線l1、l2對應的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，
故直線l對應的a∈(–3,1)
學生鞏固練習
1 方程sin(x–)=x的實數解的個數是( )
a 2 b 3 c 4 d 以上均不對
2 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數a、b、α、β的大小關係為( )
a α＜a＜bb α＜a＜β＜b
c a＜α＜bd a＜α＜β＜b
3(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t為引數)的最大值是
4 已知集合a=,b=，當ab時，則a的取值範圍是
5 設關於x的方程sinx+cosx+a=0在（0,π）內有相異解α、β
（1）求a的取值範圍；
（2）求tan(α+β)的值
6 設a=，b=,且a∩b≠，求a的最大值與最小值
7 已知a（1，1）為橢圓=1內一點，f1為橢圓左焦點，p為橢圓上一動點求｜pf1｜+｜pa｜的最大值和最小值
8 把乙個長、寬、高分別為25 cm、20 cm、5 cm的長方體木盒從乙個正方形視窗穿過，那麼正方形視窗的邊長至少應為多少？
參***
1 解析在同一座標系內作出y1=sin(x–)與y2=x的圖象如圖
答案 b
2 解析 a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的兩根，在同一座標系中作出函式f(x)、g(x)的圖象如圖所示
答案 a
3 解析聯想到距離公式，兩點座標為a(4cosθ,3sinθ),b(2t–3,1–2t)
點a的幾何圖形是橢圓，點b表示直線
考慮用點到直線的距離公式求解
答案4 解析解得a=，b=，畫數軸可得
答案 a＞3
5 解 ①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的圖象，知
當｜–｜＜1且–≠時，曲線與直線有兩個交點，
故a∈(–2,–)∪(–,2)
②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a
相減得tan，
故tan(α+β)=3
6 解 ∵集合a中的元素構成的圖形是以原點o為圓心， a為半徑的半圓；集合b中的元素是以點o′(1,)為圓心，a為半徑的圓如圖所示
∵a∩b≠，∴半圓o和圓o′有公共點
顯然當半圓o和圓o′外切時，a最小
a+a=｜oo′｜=2,∴amin=2–2
當半圓o與圓o′內切時，半圓o的半徑最大，即a最大
此時a–a=｜oo′｜=2,∴amax=2+2
7 解由可知a=3,b=,c=2，左焦點f1(–2,0),右焦點f2(2,0) 由橢圓定義，｜pf1｜=2a–｜pf2｜=6–｜pf2｜,
∴｜pf1｜+｜pa｜=6–｜pf2｜+｜pa｜=6+｜pa｜–｜pf2｜
如圖由｜｜pa｜–｜pf2｜｜≤｜af2｜=知
–≤｜pa｜–｜pf2｜≤
當p在af2延長線上的p2處時，取右「=」號；
當p在af2的反向延長線的p1處時，取左「=」號
即｜pa｜–｜pf2｜的最大、最小值分別為，–
於是｜pf1｜+｜pa｜的最大值是6+,最小值是6–
8 解本題實際上是求正方形視窗邊長最小值
由於長方體各個麵中寬和高所在的面的邊長最小，所以應由這個面對稱地穿過視窗才能使正方形視窗邊長盡量地小
如圖設ae=x,be=y,
則有ae=ah=cf=cg=x，be=bf=dg=dh=y
∴∴課前後備註
數形結合思想
2 以 形 變 數 雖然形有形象 直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對於較複雜的 形 不但要正確的把圖形數位化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把 形 正確表示成 數 的形式，進行分析計算。解題的基本思路 明確題中所給條件和所求的目標...
數形結合思想
七個 數學思想 函式與方程的思想 分類與整合的思想數與形結合的思想 化歸與轉化的思想特殊與一般的思想 有限與無限的思想或然與必然的思想 微專題 數與形結合的思想的研究與拓展 1.對於方程或方程組的解的個數問題,用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖象交點的個數.例1 2005年，上海卷 設定義域為r的...
數形結合思想
數學二輪複習 數學思想方法選講 學習目標 數形結合就是在研究數學問題時，由數思形，以形思數，數形結合考慮問題的一種思想方法.運用數形結合方法研究數學問題，善於溝通代數與幾何.學習難點 靈活進行數形結合.教學過程 1.構造數軸或直角座標系解決某些問題 例1 已知 a b均為負數，c為正數，且 b a ...