第一講數形結合
看到數，想到形，利用圖形的技巧解決問題。
想到線段，想到正方形，想到正方體。
一、 三角形數
自然數列，金字塔數列，可以構成三角形的圖形，成為三角形數。
連續自然數的三角形數的解題思路：
1、是連續自然數列，1+2+…+n，
2、圈內填等差數列，
3、旋轉對稱求解。詳見相關例題。
二、 正方形數
平方數、奇數數列、金字塔數列，可以構成正方形的圖形，成為正方形數。
1+3+5+7+…+(2n-1)＝,1+2+3+…+n+…+3+2+1＝,
。101、【補充1】1+2+3+…+n＝n(n+1)，想到的圖形？
【難度級別】★☆☆☆☆
【解題思路】正三角形。
102、【補充2】求解
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】提供數形結合的兩種方法，通過此題了解三角形數、正方形數的求解方法。
方法一：正方形數(金字塔數列、奇數列)
平方數可以表示成金字塔數列：
＝11個數；
＝1+2+13個數；
＝1+2+3+2+1， 5個數；
＝1+2+3+4+3+2+1，7個數；
…… 數的個數，構成了奇數列，1+3+5+7+…+(2n-1)＝，奇數列可以構成正方形數，將金字塔數列填入正方形數中，如上圖。所以，
＝(2n-1)×1+(2n-3)×2+(2n-5)×3+…+[2n-(2n-1)]×n
＝2n×(1+2+3+…+n)-[1×1+2×3+3×5+4×7+…+n×(2n-1)]
＝n×n×(n+1)-[2(2n-1)+1]÷3×＝
其中，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n×(2n-1)是採用三角形數的求解方法：
1、 連續自然數，1、2、3、…、n
2、 每個圈內的數，形成奇數數列
3、 旋轉對稱
每個位置的平均值為：[2(2n-1)+1]÷3，數的個數為：1+2+3+…+n＝
所以，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n×(2n-1)＝[2(2n-1)+1]÷3×。
方法二：三角形數(自然數列)
直接採用自然數列的三角形數求解方法。
＝1×1+2×2+3×3+…+n×n
1、 連續自然數，1、2、3、…、n
2、 每個圈內的數，形成自然數列
3、 旋轉對稱
每個位置的平均值為：(2n+1)÷3，數的個數為：1+2+3+…+n＝
所以，＝1×1+2×2+3×3+…+n×n
＝(2n+1)÷3×＝。
【答案】。
103、【第一單元5】1×99+2×97+3×95+…+49×3+50×1
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】三角形數。
1、 連續自然數，1、2、3、…、n
2、 每個圈內的數，形成倒序的奇數數列
3、 旋轉對稱
每個位置的平均值為：(99+1+1)÷3，數的個數為：1+2+3+…+50＝
1×99+2×97+3×95+…+49×3+50×1＝(99+1+1)÷3×
＝×101×50×51÷6＝42925
【答案】42925。
104、【學案1】1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】方法
一、如第一單元例5，採用三角形數法，略。
方法二，通項歸納
=n×(101-n)=101n－，原式=101×(1+2+3+…+100171700
方法三，裂項
原式＝1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+99)+(1+2+3+…+100)
＝1+×3×2+×4×3+…+×100×99+×101×100
＝×(1×2+2×3+3×4+…+99×100+100×101)
＝×[(1×2×3-0×1×2)+(2×3×4-1×2×3)+(3×4×5-2×3×4)+…+(99×100×101-98×99×100)+(100×101×102-99×100×101)]×
＝×(100×101×102-0×1×2)＝171700
【答案】171700。
105、【補充3】證明：
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】正方形數。先變成平方數，再平方數變成金字塔數列。
＝＝1×1＝1，1個數；
＝2×(1+2+1)＝2+4+2，3個數；
＝3×(1+2+3+2+1)＝3+6+9+6+3，5個數；
＝4×(1+2+3+4+3+2+1)＝4+8+12+16+12+8+4，7個數；
……＝n×(1+2+3+…+n+…+3+2+1)＝n+2n+3n+…+n×n+…3n+2n+n，2n-1個數；
看個數，是個奇數數列，可以排成正方形：
第1行：1×(1+2+3+4+…+n)；
第2行：2×(1+2+3+4+…+n)；
第3行：3×(1+2+3+4+…+n)；
第4行：4×(1+2+3+4+…+n)；
……第n行：n×(1+2+3+4+…+n)；
所以，總和：
＝(1+2+3+4+…+n)×(1+2+3+4+…+n)
＝當然，拼接正方形也可以。
106、【第一單元2】若兩個完全平方數的差為57，則這兩個完全平方數是多少？
【難度級別】★★☆☆☆
【解題思路】數的拆分，注意別漏解。
假設＞，－＝()()＝57。對57拆分，57＝1×57＝3×19。
(1) 57＝1×57
()()＝1×57，，，
(2) 57＝3×19
()()＝3×19，，，
【答案】841和784，或121和64。
107、【第二單元6】(2023年迎春杯五年級初賽)一些棋子被擺成了乙個四層的空心方陣。後來小林又添入28個棋子，這些棋子恰好變成了乙個五層的空心方陣（不能移動原來的棋子），那麼最開始最少有_______個棋子。
【難度級別】★★★★★
【解題思路】設四層方陣最裡層的邊長為a個棋子，則四層方陣的邊長依次是：a、a+2、a+4、a+6，棋子的總數為：－＝＝。
設五層方陣最裡層的邊長為b個棋子，則五層方陣的邊長依次是：b、b+2、b+4、b+6、b+8，棋子的總數為：－＝＝。
由題意知，－＝28。
化簡，，最小值：，＝112。此時b＝4。
構造：b＝4說明五層方陣最裡層的邊長為4，只能如圖所示，內側加2邊，外側加2邊。
內側：5個棋子，外側：每邊為＝12個棋子，外側共加12×2－1＝23個棋子；總棋子：5+23＝28，與題意相符。
【答案】112。
108、【第三單元4】(1)利用圖示說明1+2+3+…+(n-1)＝
(2)借鑑上一小題的思路，求下圖中有多少個平行四邊形。
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】(1) 1+2+3+…+(n-1)＝n(n-1)＝＝。
2個方向決定乙個點，即：2條直線決定乙個點。
1～(n-1)行的每個點都可以分解成左下、右下2個方向，每個方向對應到第n行上的乙個點，即每個點對應到第n行上的2個點。
反過來說，第n行任選2個點，左邊的點代表右上方向，右邊的點代表左上方向，這2個方向必然相交於一點，第n行不同的2點相交於1～(n-1)行上不同的點。
(2)平行四邊形從2組平行線的方向看，分為如下三種：
每種對應乙個方向，由對稱性，求出乙個方向，×3即可。
以第一種為例，看朝上的正三角形。
因為一組平行線是左下右上方向，一組平行線是右下左上方向。
正常情況下，第一組平行線交於第n行2個點，第二組平行線也交於第n行2個點，說明這兩組平行線（即4個點）對應到第n行上的4個點。
如果最下面的那乙個點恰好落在了第n行上，則兩組平行線（即4個點）只對應到第n行上的3個點。
反過來理解就是，從第n行上選出4個點，左邊2點從左下往右上畫2條直線，右邊2點從右下往左上畫2條直線，唯一相交出來乙個平行四邊形。當中間2個點重合變成3個點時，中間的點既往右上、又往左上2個方向都畫線。
平行四邊形總數量：(+)×3，針對本題，
(+)×3＝(15+20)×3＝105。
本題中的平行四邊形不僅僅是菱形，也包括邊長不等的如下類似的平行四邊形。
第(2)問的第二種解法，以前學過的，找規律。
在圖中，上下2個點唯一的確定乙個平行四邊形，就看上下2個點即可。固定上邊的點，計算下邊點的情況。還是上面三個方向，由對稱性，求出乙個方向，×3即可。
上邊的點在第1行：下邊點可以在第3、4、5、6行，數量：1+2+3+4＝10；
上邊的點在第2行：下邊點可以在第4、5、6行，數量：(1+2+3)×2＝12；
上邊的點在第3行：下邊點可以在第5、6行，數量：(1+2)×3＝9；
上邊的點在第4行：下邊點可以在第6行，數量：1×4＝4；
乙個方向的數量是：10+12+9+4＝35，三個方向總數量：35×3＝105。
【答案】105。
109、【作業1】+++…+
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】提供三種方法。
一、 數形結合，奇數列，正方形數
原式＝1×1+3×3+5×5+7×7+…+99×99
看到1、3、5、…、99是奇數數量，想到正方形數。
原式＝1×1+3×3+5×5+7×7+…+99×99
＝(1+3+5+7+…+99)+(2×3+4×5+6×7+…+98×99)
奇數數列的和根據1+3+5+…+(2n-1)＝求解；
後面的根據通項求解，＝＝，
4×(+++…+)+2×(1+2+3+…+49)
原式＝+4×(+++…+)+2×(1+2+3+…+49)
＝2500+4××49×50×99+2××50×49＝166650
二、 通項歸納
＝＝，＝4×(+++…+)-4×(1+2+3+…+50)+1×50
＝4××50×51×101－4××51×50+50＝166650
三、 補項，補成連續自然數的平方和
原式＝×100×101×201－[+++…+]
＝×100×101×201－×(+++…+)
＝×100×101×201－4××50×51×101＝166650
【答案】166650。
110、【學案3】求下圖有多少個菱形（四邊相等）
【難度級別】★★☆☆☆
【解題思路】菱形從2組平行線的方向看，分為如下三種：
每種對應乙個方向，由對稱性，求出乙個方向，×3即可。
以第一種為例，看朝上的正三角形。
方法一、第三單元例4，維度決定，看最下邊一行的點
因為一組平行線是左下右上方向，一組平行線是右下左上方向。
正常情況下，第一組平行線交於第n行2個點，第二組平行線也交於第n行2個點，說明這兩組平行線（即4個點）對應到第n行上的4個點。因為是菱形，四邊相等，所以左邊2點（①與②）的距離與右邊兩點（③與④）的距離要相等。
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