第四章數形結合思想
第3講一、概述與要點
本講討論綜合題的數形結合問題.綜合題中常需要使用多個知識點，這些知識點涉及代數、幾何等方面，解此類綜合題關鍵是運用數形結合的思想，挖掘有用的隱含條件，把幾何圖形的直觀描述與數量關係的精確刻畫有機的結合起來，並進行合理的轉化，使複雜問題變得簡潔、扼要，達到化難為易的目的.
二．例題選講
例1（02 河北考題）如圖4-3-1，矩形abcd中，ab=12cm ， bc=6cm， 點p從a往b以2cm/秒的速度移動，點q從d往a以1cm/秒的速度移動，它們同時出發，用t秒時間完成運動（0≤t≤6）
（1）當⊿qap是等腰直角三角形時，求t的值.
（2）設⊿pqc面積為y，求y與t之間的函式關係式.
（3）當以點q、a、p為頂點的三角形與⊿abc相似時，求t的值.
（4）計算四邊形paqc面積並根據計算結果，提出乙個與此相關結論.
解：（1）根據題意，設dq=t aq=6－t ap=2t.
當⊿apq為等腰直角三角形時，∠a=90° ∴ap=aq.
6－t=2t ∴當t=2秒時， ⊿qap為等腰直角三角形.
（2）sabcq= (6－t＋6)×12=72－6t
s⊿apq=×2t×(6－t)=6t－t2
s⊿pbc=×6×(12－2t)=36－6t
∴y=sabcq－ s⊿apq－s⊿pbc=t2－6t＋36. (0≤t≤6)
3) 當⊿qap∽⊿abc時， =，
即= ∴ t=；
當 ⊿paq∽⊿abc時， =，
即= ∴t=.
當t=或3時，⊿qap與⊿abc相似.
（4）spaqc=×6×2t+×(6－t) ×12=36
提出的結論：
不論p、q兩點如何移動（0≤t≤6）四邊形paqc的面積始終是乙個定值，它總等於36.
點p、q到對角線ac距離之和始終不變.
四邊形paqc的面積總等於矩形abcd面積的一半.
反思：第（1）題由「形」到「數」，第（2）題即函式問題，第（3）題又由「形」到「數」，第（4）題「形」到「數」相結合，整個問題數形密切結合，知識點涉及了代數和幾何兩個方面，解得流暢自然，一道綜合性試題變得淺顯輕而易舉地解決了.
例2．（2004，嘉定）如圖4-3-2，已知圓a與圓b兩圓外離，圓a與圓b兩圓半徑分別為4cm,2cm.圓心距ab=8cm,點p是圓心距ab上乙個動點，且pc切圓a於c點，pd切圓b於點d，若pd=pc，
(1) 求cos∠cab的值。
(2) 若pc與pd不垂直，是否存在這樣的點p，使 apc與以p、b、d三個頂點構成的三角形相似？若存在，請求出pb的長，若不存在，請簡要說明理由？
(3)設ap=xcm,當x為何值時，直線pd與圓a相離、相切、相交？
變式：設ap=xcm,當x為何值時，cp所在的直線與圓b相離、相切、相交？
解：（1）設pa=x，則pb=8-x，根據題意可得，ac ⊥pc， bd⊥ pd
∴cp2=x2-42，pd2=（8-x）2-22 又因為pd=pc
∴（8-x）2-22= （x2-42） x1=5 x2=31（捨去）
∴pa=5 ∴cos∠cab==
（2）存在假設 apc與以p、b、d三個頂點構成的三角形相似
1° 當∠apc=∠b時，pc∥bd
∴pc⊥pd與已知pc與pd不垂直相矛盾，這種情況不存在。
2° 當∠apc=∠dpb時， = 設pb=y，則pa=8-y
∴= 得y= ∴當pb=時， apc∽ bpd
(3)pd與圓a相切於點m，連線am，則am⊥pd
∴ amp∽ bdp ∴= ∴= 得x=
∴當例3.（2002，成都）如圖4-3-3已知拋物線y=x2和直線y=(m2-1)x+m2
(1) 當m為何實數時，拋物線與直線有兩個交點？
(2) 設座標原點為o，拋物線與直線的交點從左到右分別為ab，當直線與拋物線兩交點的橫座標之差為3時，求 aob中ob邊上的高。
解：（1）拋物線與直線的交點座標是方程組
y=x2
的解，交點個數取決於的符號，將方程組轉化為關於x
y=(m2-1)x+m2
的一元二次方程，求出 =(m2-1)2>0 ∴無論m取何實數，拋物線與x軸總有兩個不同的交點。
（2）方程x2-(m2-1)x- m2=0的兩個根為-1，m2由 m2-（-1）=3，求出m=±
此時直線y=x+2,a(-1,1)b(2,4)則oa=，ob=2，ab=3
∴ aob為rt ，ob邊上的高h==
反思：當幾何圖形的點落在一次函式、二次函式、反比例函式圖象上時，就要把函式與幾何圖形聯絡在一起，促進數與形的相互轉化，進而有利於用代數方法研究幾何圖形。
例4．（2023年，揚州）如圖4-3-4矩形abcd的邊ab平行於y軸，點a在直線y=kx-2上，點c在拋物線y1=2x2+bx-b上，點b、d在拋物線y2=x2-3x+3上（點b在點c的右方）已知拋物線y1的對稱軸為直線x=.點d的橫座標為xd=2 （1）求b的值 （2）求k的值 （3）一平行於y軸的直線分別交拋物線y1、y2及直線於m、n、p三點，若np=2mn，求線段mn的長
解：（1）由x= a=2得b=-5 ∴y1=2x2-5x+5
（2） cd∥y軸 xd=2 得xc=2 設c點座標為（2，y）代入y1,得c點座標為（2，3）同理可得b(3,3)由a（3，1）在y=kx-2上，得k=1
(3) 設p（x,x-2）m(x, 2x2-5x+5) n(x, x2-3x+3)
得np= x2-4x+5 np= x2-2x+2 由np=2mn 得x=±1∴mn=1或5
反思：點的座標是鏈結代數與幾何知識的紐帶，點的座標是用一對有序實數對給出的，在直角座標系中，它們可以轉化為圖形位置關係或轉化為線段長度，函式與直線形幾何題結合的問題解決主要方法是數形結合，結合圖形設點的座標，再將點的座標與對應的方程係數建立聯絡，得到結論解決問題。
三．習題精選
1. 如圖4-3-5，直角座標系中，o』的座標為（2，0）圓o』與x軸交於原點和a點。b、c、e三點的座標分別為（-1，0）（0，3）（0，b）且0(1) 求a點座標和經過b、c兩點直線解析式
(2) 求點e**段oc上移動時，直線be與圓o』有哪幾種位置關係？並求每種關係中b的取值範圍。
2. 如圖4-3-6， abc中，∠a=90°ab=ac=1 p是ab上不與a、b重合的任意一點，pq⊥bc於q，qr⊥ac於r
（1） 求證pq=bq
（2） 設bp=x cr=y 求y與x之間的函式關係式
（3） x為何值時，rp∥bc
3. （2003，崇明）如圖4-3-7，已知等腰rt abc中，∠abc=90° co⊥ab，ab=2，點e與點f分別在邊ac、bc上滑動並保持ce=bf但點f不與c、b重合，點e不與a、c重合。
（1） 當點e、f分別在邊ac、bc上滑動時，s四邊形ceof與s abc之間，有怎樣大小關係？試證明你所得結論。
(2)ce=x s oef=y,寫出y與x的函式解析式
(3)當s oef=s abc時，求點e、f分別在ca、cb上的位置。
4.(2004,金山)已知矩形abcd中，ab=2，ad=5，以點b為圓心的圓與邊ad相交於點p
（1） 如圖4-3-8-1，若cp與圓b相切，求ap的長
（2） 如圖4-3-8-2，經過點p的圓b的切線與線段bc相交與點f，與線段dc的延長線相交於e，設ap=x,ce=y，求出y關於x的函式解析式
（3） 過點p的圓b的切線與bc所在的直線相交於點f，當cf=1時，求ap的值
5.（2002，福州）如圖4-3-9，已知 abc中，ab=5，bc=3，ac=4，pq∥ab，p點在ac上（與點a、c不重合）q點在bc上
（1） 當 pqc的面積與四邊形pabq面積相等時，求cp的長
（2） 當 pqc的周長與四邊形pabq周長相等時，求cp的長
（3） 試問在ab上是否存在點m，使 pqm為等腰rt ？
若不存在，請簡要說明理由，若存在，請求pq的長。
6.（2004，泰州）如圖4-3-10，用剪刀將形狀如圖所示的矩形紙片abcd沿直線cm剪成兩部分，其中m為ad的中點，用這兩部分的紙片可以拼成一些新圖形，例如圖所示中的rt bce就是拼成的乙個圖形，若rt bce是等腰rt ，設原矩形紙片中的邊ab和bc的長分別為a厘公尺、b厘公尺，且a、b恰好是關於x的方程x2-(m-1)x+m+1=0兩個實數根，試求出原矩形紙片的面積
7.（2003，吉林）如圖4-3-11，已知a（8，0）b（0，6）c（0，-2）鏈結ab，過點c的直線l與ab交於p
（1） 如圖，當pb=pc時，求點p的座標
（2） 如圖，設直線l與x軸所夾的銳角為
且tg =,鏈結ac，求直線l與x軸的交點e的座標
rt pac的面積
8.（2001，上海）如圖4-3-12已知拋物線y=2x2-4x+m與x軸交於不同的兩點a、b，其頂點為c，點d是拋物線的對稱軸與x軸的交點，（1）求實數m的取值範圍 （2）求頂點c的座標和線段ab的長度（用含m的代數式表示） （3）若直線y=x+1分別交x軸、y軸於點e、f，問 bdc與 eof是否可能全等？若可能，請證明。
若不可能，請說明理由。
9.已知拋物線y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)
(1) 求證無論m取何值，拋物線都經過x軸上的乙個定點（設為a點）
數形結合的思想方法
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