湖南省省級示範性高中……洞口三中高三數學第二輪總複習講義
專題內容： 函式與方程的思想
一、方法概述
① 函式思想是指通過建構函式,從而應用函式圖象、性質解決相關問題的一種思想方法,即用運動變化的觀點,分析和研究具體問題中的數量關係,通過函式的形式把這種數量關係表示出來,並研究其內在聯絡,使問題獲解;運用函式思想解題,首先要深入觀察題目的結構特徵,揭示內在聯絡,挖掘隱含屬性,從而恰當地建構函式,然後利用函式性質去實施解題;函式思想在求變數的取值範圍、解不等式、證不等式、方程有解的條件分析、方程的實根個數的討論等方面,都有著廣泛的應用.
② 方程思想是指將反映變數之間的關係式看作是乙個方程,或者將所研究的問題化歸為乙個方程問題,然後通過對方程的討論,從而使問題獲解的一種思想方法.用方程思想處理常量、變數和引數之間的內在聯絡,是一種重要的解題策略,並與函式思想相輔相成.
二、範例剖析
※【★題1】①解不等式log2(-x)a （-∞,-1） b （-∞,-2） c （-1,0） d （-2,0）
②已知函式（x）= (x∈r),則-1答案 : -1)
③不等式4x+log3x+x2>5的解集為( c )
a r+ b ｛x|x>0｝ c ｛x|x>1｝ d ｛x|x>2｝
解、視為函式（x）=4x+log3x+x2則x∈(0,+∞),且（x）為↗, （1）=5
※【★題2】給出兩個命題,甲:不等式|x|+|x-2|乙:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根，若甲真乙假，則m的取值範圍為＿＿＿＿＿＿＿
解、①甲真，則不等式|x|+|x-2|2
②乙假,則方程4x2+4(m-2)x+1=0有實根，
即△＝［４（m-2)]2-4×4×1≥0m≤1或m≥3
∴｛m|m≥3｝為所求
※【★題3】不等式x+|x-2c|>1的解集為ｒ(c>0)，則c的取值範圍為＿
解、｛c|c>｝
※【★題4】①已知關於x的方程x2-2cosx+a=0有且只有乙個實根,
則a的值為_____
解、方程化為x2+a=2cosx, 再考查函式y=x2+a的圖象與函式y=2cosx
的圖象有且只有乙個公共點, ∴a=2
②若函式（x）是定義域為r的偶函式,在(-∞,0]上是減函式,且（2）=0,則
使得（x）<0的x的取值範圍為( d )
a(-∞,2) b (2,+∞) c (-∞,-2) d(-2,2)
③ 關於x的方程cos2x-sinx+a=0在(0,)上有解,則實數a的取值範圍為_____
(答案:(-1,1)
※【★題5】在一次射擊練習中,已知甲獨立射擊,目標被擊中的概率為,甲和乙同時射擊,目標沒有被擊中的概率為,則乙獨立射擊,目標被擊中的概率為_________
解、列出方程[1-p(a)]·[1-p(b)]=,則有p(b)=
※【★題6】在集合m=｛x|2x+x2=2x+2,x∈r｝中,其元素個數共有( )
a 0 b 1 c 2d 3
解、化為2x =-x2+2x+2= -(x-1)2+3,則有兩個交點,∴選(c)
※【★題7】對任意的a∈[-1,1], 函式（x）=x2+ (a-4)x+4-2a>0恆成立,則實數x的取值範圍為( b )
a (1,3) b (-∞,1)∪(3,+∞) c (1,2) d (-∞,1)∪(2,+∞)
※【★題8】已知實數a,b,c滿足:a+b+c=2,abc=4,則a的取值範圍為( )
a (-∞,0) b [4,+∞) c (0,4] d (-∞,0)∪[4,+∞)
解、b+c = 2- a, bc=; 則b,c是關於x的方程x2-(2-a)x+ =0的兩個實根,
從而△≥0,則得(d)
※【★題9】不等式※【★題10】若存在x∈[,2],使log2(ax2-2x+2)=2成立,求實數a的取值範圍
解、由已知化為a=+,記(x)= +,則a的取值範圍即為函式(x)的值域,
∴a∈[,12]
※【★題11】已知函式（x）對一切實數x、y均有（x+y）-（y）=（x+2y+1）·x成立，且（1）=0
①求（0）之值
②當（x）+3 < 2x+a 且0解、①（0）=-2
②化為a>(x-)2+從而有｛a| a≥1｝為所求
※【★題12】正四稜柱abcd—a1b1c1d1的底邊長為3,側稜長為6,p是側稜cc1上的一點,求當點p在何位置時,直線ap在平面ab1c上的射影是∠b1ac的平分線
解、①直線ap在平面ab1c上的射影是∠b1ac的平分線
則∠pab1=∠pac再設cp=x,利用cos∠pab1=cos∠pac建立方程,
可求得x= (-1)
※【★題13】已知點a(1,1),點b,c在拋物線y2=x上運動,且ab⊥bc,
求證:|ac|≥2
解、設點b(t2,t) c(x2,x) ∵ab⊥bc,則kab·kbc=-1,
從而得x=-t= -(+t+1)+1x≤ -1 或x≥3 又(x)=|ac|2=(x2-1)2+(x-1)2=x4-x2-2x+2
通過求導,則有(x)min=4,則有|ac|≥2
※【★題14】已知數列｛an｝、｛bn｝滿足 a1= b1=6, a2= b2=4, a3= b3=3,且數列｛an+1 -an｝(n∈n*)是等差數列,｛bn-2｝是等比數列,問是否存在k∈n*,使得ak- bk ∈(0,)?若存在,求出k之值,若不存在,說明理由
解、①an+1 -an= -2+(n-1)·1=n-3累加則有an=
②bn-2=4·()n-1,∴bn=4·()n-1+2 ③假設存在k∈n*,使得ak- bk ∈(0,),
記(k)= k2-k+7-8·()k=·(k-)2-8·()k+當k≥4時, (x)↗,則(k)≥ (4)=,又k=1,2,3時, (k)=0,所以不存在k∈n*,使得ak- bk ∈(0,)
三、方法技巧提煉
①運用函式觀點解決問題,主要從下面四個方面著手:一是根據方程與函式的密切關係,可將二元方程轉化為函式來解決;二是根據不等式與函式的密切關係,常將不等式問題轉化為函式問題,利用函式的圖象與性質進行處理;三是在解決實際問題中,常涉及到最值問題,通常是通過建立目標函式,利用求函式最值的方法加以解決;四是中學數學中的某些數學模型(如數列的通項或前n項和、含有乙個未知量的二項式等)可轉化為函式問題,利用函式相關知識或借助處理函式問題的方法進行解決.
②運用方程觀點解決問題主要從以下四個方面著手:一是把問題中對立的已知與未知建立相等關係統一在方程中,通過解方程解決;二是從分析問題的結構入手,找出主要矛盾,抓住某乙個關鍵變數,將等式看成關於這個主變元(常稱為主元)的方程,利用方程的特徵解決;三是根據幾個變數間的關係,符合某些方程的性質和特徵(如利用根與係數的關係構造方程等),通過研究方程所具有的性質和特徵解決;四是中學數學中常見的數學模型(如函式、曲線等),經常轉化為方程問題去解決.
③函式、方程、不等式是乙個有機的整體,我們必須用聯絡的觀點去看待;用函式與方程的思想解決問題時,有時需將具體問題抽象,提煉其本質.
四、今日訓練作業：《專題透析》p95-105
湖南省省級示範性高中……洞口三中高三數學第二輪總複習講義
專題內容： 數形結合的思想
一、方法概述
數形結合思想是指將數學問題的數量關係和幾何圖形結合起來進行解題的一種思想方法.它包括「以形助數」和「以數解形」兩個方面,即對數的問題,可通過研究其對應的幾何圖形的性質使問題獲解;對形的問題,可利用圖中的數量關係使問題獲解;運用數形結合思想解題時,要注意數與形轉化的搶救無效價性,以及圖形的準確性.
二、範例剖析
※【★題1】已知集合a=｛(x,y)|x-y+m≥0｝,集合b=｛(x,y)|x2+y2≤1｝全集u=｛(x,y)|x∈r,y∈r｝,若a∩(ub)=a,則實數m的取值範圍為( b)
ab (-∞,-)
cd (-,+∞)
※【★題2】函式y=(x)的反函式y= -1(x)的圖象與y軸交於點p(0,2) (如圖所示),則方程(x)=0在[1,4]上的根為x=( c )
a 4 b 3 c 2 d 1
※【★題3】已知關於x的方程x2+(a+1)x+a+b+1=0有兩個實根x1,x2,且0 ※【★題4】已知x,y滿足+=1,求出y-3x的最值_______
解、答案:13
※【★題5】設a>1為常數,已知當x∈(-1,1)時,不等式x2-ax《恆成立,則a的取值範圍為( a )
a (1,2] b [2,+∞) c (1,4] d [4,+∞)
※【★題6】設集合m=｛x|=x-k｝,若m≠,則實數k的取值範圍為( c )
a (0,1] b [-1,0] c (-∞,-1]∪(0,1] d [-1,0)∪[1,+ ∞)
※【★題7】已知函式(x)=ax –b的圖象如圖所示,其中a,b為常數,則下列結論正確的是( b )
a a>1 b<0 b 0c a>1 b>0 d 00
※【★題8】函式(x)= +的最小值是______
解、(x)= +=+最小值是13
※【★題9】設函式(x)=x(x+1),當x∈(0,)時,不等式(x)解、答案: [,1)
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