函式與方程的思想方法
一、知識整合
函式與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯絡，方程f(x)＝0的解就是函式y＝f(x)的影象與x軸的交點的橫座標，函式y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過方程進行研究。
就中學數學而言，函式思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函式的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論引數的取值範圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函式關係式或構造中間函式，把所研究的問題轉化為討論函式的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.
許多有關方程的問題可以用函式的方法解決，反之，許多函式問題也可以用方程的方法來解決。函式與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。
1．函式的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關係，建立函式關係或建構函式，運用函式的影象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函式思想是對函式概念的本質認識，用於指導解題就是善於利用函式知識或函式觀點觀察、分析和解決問題。
2．方程的思想，就是分析數學問題中變數間的等量關係，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用於指導解題就是善於利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關係.
3．(1) 函式和方程是密切相關的，對於函式y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函式式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函式問題（例如求反函式，求函式的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函式問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函式y＝f(x)的零點。
(2) 函式與不等式也可以相互轉化，對於函式y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助於函式影象與性質解決有關問題，而研究函式的性質，也離不開解不等式。
(3) 數列的通項或前n項和是自變數為正整數的函式，用函式的觀點處理數列問題十分重要。
(4) 函式f(x)＝（n∈n*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函式用賦值法和比較係數法可以解決很多二項式定理的問題。
(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關係問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函式的有關理論。
(6) 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函式表示式的方法加以解決。
二、例題解析
ⅰ．運用函式與方程、表示式相互轉化的觀點解決函式、方程、表示式問題。
例1 已知，（a、b、c∈r），則有（ ）
(a) (b) (c) (d)
解析法一：依題設有 a·5－b·＋c＝0
∴是實係數一元二次方程的乙個實根；
∴△＝≥0 ∴ 故選(b)
法二：去分母，移項，兩邊平方得：
≥10ac＋2·5a·c＝20ac
∴ 故選(b)
點評解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函式，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
練習1 已知關於的方程－（2 m－8）x +－16 = 0的兩個實根、滿足＜＜，則實數m的取值範圍
答案：；
2 已知函式的圖象如下，則（ ）
（a） (b)
(cd)
答案：a.
3 求使不等式≤·對大於1的任意x、y恆成立的a的取值範圍。
ⅱ：建構函式或方程解決有關問題：
例2 已知，t∈[，8]，對於f(t)值域內的所有實數m，不等式恆成立，求x的取值範圍。
解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]
原題轉化為： >0恆成立，為m的一次函式（這裡思維的轉化很重要）
當x＝2時，不等式不成立。
∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]
問題轉化為g(m)在m∈[，3]上恆對於0，則：；
解得：x>2或x<－1
評析首先明確本題是求x的取值範圍，這裡注意另乙個變數m，不等式的左邊恰是m的一次函式，因此依據一次函式的特性得到解決。在多個字母變數的問題中，選準「主元」往往是解題的關鍵。
例3 為了更好的了解鯨的生活習性，某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監測裝置，從海洋放歸點a處，如圖（1）所示，把它放回大海，並沿海岸線由西向東不停地對它進行了長達40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得資料如下表（設鯨沿海面游動），然後又在觀測站b處對鯨進行生活習性的詳細觀測，已知ab＝15km，觀測站b的觀測半徑為5km。
(1)據表中資訊：①計算出鯨沿海岸線方向運動的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關係式並
畫出鯨的運動路線草圖；
（2）若鯨繼續以（1）－②運動的路線運動，試**，該鯨經過多長時間（從放歸時開設計時）可進入前方觀測站b的觀測範圍？並求出可持續觀測的時間及最佳觀測時刻。（注：
≈6.40；精確到1分鐘）
解析（1）由表中的資訊可知：
①鯨沿海岸線方向運動的速度為：（km/分鐘）
②a、b近似地滿足的關係式為：運動路線如圖
（2）以a為原點，海岸線ab為x軸建立直角座標系，設鯨所在
位置點p（x，y），由①、②得：，又b（15，0），
依題意：觀測站b的觀測範圍是：
≤5 （y≥0） 又
∴≤25 解得：11.30≤x≤17.70
由①得：∴該鯨經過t＝＝113分鐘可進入前方觀測站b的觀測範圍
持續時間：＝64分鐘
∴該鯨與b站的距離d＝＝
當d最小時為最佳觀測時刻，這時x＝＝14.5，t＝145分鐘。
練習4．已知關於的方程－2= 0有實數解，求實數的取值範圍。
（答案：0≤≤4－）
ⅲ：運用函式與方程的思想解決數列問題
例4設等差數列的前n項和為sn，已知， >0， <0，
（1）求公差d的取值範圍；
（2）指出、、…，中哪乙個最大，並說明理由。
解析（1）由得：，
∵＝>0 ＝<0
∴（2）
∵d<0，是關於n 的二次函式，對稱軸方程為：x＝
∵三、強化練習
1．展開式中的係數為
2．已知方程的四個根組成乙個首項為的等差數列,則( )
a 1bcd
3.設雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（ ）
a 5bcd
4．已知銳角三角形abc中，。
ⅰ.求證；
ⅱ.設，求ab邊上的高。
5．甲、乙、丙三颱工具機各自獨立地加工同一種零件，已知甲工具機加工的零件是一等品而乙工具機加工的零件不是一等品的概率為，乙工具機加工的零件是一等品而丙工具機加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩台工具機加工的零件都是一等品的概率為。
ⅰ.分別求甲、乙、丙三颱工具機各自加工的零件是一等品的概率；
ⅱ.從甲、乙、丙加工的零件中各取乙個進行檢驗,求至少有乙個是一等品的概率。
6．設，，曲線在點處切線的傾斜角的取值範圍為，則點ｐ到曲線對稱軸距離的取值範圍是（ ）
7.設雙曲線c：與直線相交於兩個不同的點a、b。
ⅰ.求雙曲線c的離心率的取值範圍；
ⅱ.設直線與軸的交點為p，且，求的值。
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