第8講高考中常用數學的方法
------配方法、待定係數法、換元法
一、知識整合
配方法、待定係數法、換元法是幾種常用的數學基本方法.這些方法是數學思想的具體體現,是解決問題的手段,它不僅有明確的內涵,而且具有可操作性,有實施的步驟和作法.
配方法是對數學式子進行一種定向的變形技巧,由於這種配成「完全平方」的恒等變形,使問題的結構發生了轉化,從中可找到已知與未知之間的聯絡,促成問題的解決.
待定係數法的實質是方程的思想,這個方法是將待定的未知數與已知數統一在方程關係中,從而通過解方程(或方程組)求得未知數.
換元法是一種變數代換,它是用一種變數形式去取代另一種變數形式,從而使問題得到簡化,換元的實質是轉化.
二、例題解析
例1．已知長方體的全面積為11,其12條稜的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為( ).
(abc)5 (d)6
分析及解：設長方體三條稜長分別為x,y,z,則依條件得：
2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對角線長為,因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=62-11=25
∴ ,應選c.
例2．設f1和f2為雙曲線的兩個焦點,點p在雙曲線上且滿足∠f1pf2=90°,則δf1pf2的面積是
(a)1 (bc)2 (d)
分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什麼呢？
由∠f1pf2=90°,得 (2),
又根據雙曲線的定義得|pf1|-|pf2|=4 (3),那麼(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯絡呢？我們發現將(3)式完全平方,即可找到三個式子之間的關係.即,
故∴ ,∴ 選(a).
注：配方法實現了「平方和」與「和的平方」的相互轉化.
例3．設雙曲線的中心是座標原點,準線平行於x軸,離心率為,已知點p(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程.
分析及解：由題意可設雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成： (1),故只需求出a可求解.
設雙曲線上點q的座標為(x,y),則|pq|= (2),∵點q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|pq|= (3),此時|pq|2表示為變數y的二次函式,利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有(y≥a或y≤-a).
二次曲線的對稱軸為y=4,而函式的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對a≤4與a>4分類討論.
(1)當a≤4時,如圖(1)可知函式在y=4處取得最小值,
∴令,得a2=4
∴所求雙曲線方程為.
(2)當a>4時,如圖(2)可知函式在y=a處取得最小值,
∴令,得a2=49,
∴所求雙曲線方程為.
注：此題是利用待定係數法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函式的最值問題,由於二次函式的定義域與引數a有關,因此需對字母a的取值分類討論,從而得到兩個解,同學們在解答數習題時應學會綜合運用數學思想方法解題.
例4．設f(x)是一次函式,且其在定義域內是增函式,又,試求f(x)的表示式.
分析及解：因為此函式的模式已知,故此題需用待定係數法求出函式表示式.
設一次函式y=f(x)=ax+b (a>0),可知 ,
∴.比較係數可知：
解此方程組,得 ,b=2,∴所求f(x)=.
例5．如圖,已知在矩形abcd中,c(4,4),點a在曲線(x>0,y>0)上移動,且ab,bc兩邊始終分別平行於x軸,y軸,求使矩形abcd的面積為最小時點a的座標.
分析及解：設a(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y1)
此時s表示為變數x,y的函式,如何將s表示為乙個變數x(或y)的函式呢？有的同學想到由已知得x2+y2=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因為表示式有開方,顯然此方法不好.
如果我們將(1)式繼續變形,會得到s=16-4(x+y)+xy2)
這時我們可聯想到x2+y2與x+y、xy間的關係,即(x+y)2=9+2xy.
因此,只需設t=x+y,則xy=,代入(2)式得 s=16-4t+ (3)s表示為變數t的二次函式,
∵0此時
注：換元前後新舊變數的取值範圍是不同的,這樣才能防止出現不必要的錯誤.
例6．設方程x2+2kx+4=0的兩實根為x1,x2,若≥3,求k的取值範圍.
解：∵≥3,
以,代入整理得(k2-2)2≥5,又∵δ=4k2-16≥0,
∴解得k
例7．點p(x,y)在橢圓上移動時,求函式u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.
解：∵點p(x,y)在橢圓上移動, ∴可設於是
令, ∵,∴|t|≤.
於是u=,(|t|≤).
當t=,即時,u有最大值.
∴θ=2kπ+ (k∈z)時,.
例8．過座標原點的直線l與橢圓相交於a,b兩點,若以ab為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點f,求直線l的傾斜角.
解：設a(x1,y1),b(x2,y2)
直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方
程整理得 (*)
由韋達定理, (1), (2)
又f(1,0)且af⊥bf,∴, 即 ,
將,代入上式整理得 ,
將(1)式,(2)式代入,解得 . 故直線l的傾斜角為或.
注：本題設交點座標為引數,「設而不求」,以這些引數為橋梁建立斜率為k的方程求解.
例9．設集合a={}
(1)若a中有且只有乙個元素,求實數a的取值集合b；
(2)當a∈b時,不等式x2-5x-6解：(1)令t=2x,則t>0且方程化為t2-2t+a=0 (*),a中有且只有乙個元素等價於方程(*)有且只有乙個正根,再令f(t)=t2-2t+a,
則δ=0 或即a=1或a≤0,從而b=(-,0]∪.
(2)當a=1時, 當a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),則當a≤0時不等式恆成立,
即當a≤0時,g(a)>0恆成立,故 ≤4.
綜上討論,x的取值範圍是(,4).
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