中考數學重難點專題講座
【前言】
前三講，筆者主要是和大家**中考中的幾何綜合問題，在這一類問題當中，尤以第三講涉及的動態幾何問題最為艱難。幾何問題的難點在於想象，構造，往往有時候一條輔助線沒有想到，整個一道題就卡殼了。相比幾何綜合題來說，代數綜合題倒不需要太多巧妙的方法，但是對考生的計算能力以及代數功底有了比較高的要求。
中考數學當中，代數問題往往是以一元二次方程與二次函式為主體，多種其他知識點輔助的形式出現的。所以在接下來的專題當中，我們將對代數綜合問題進行仔細的**和分析。
一元二次方程與二次函式問題當中，純粹的一元二次方程解法通常會以簡單解答題的方式考察。但是在後面的中難檔大題當中，通常會和根的判別式，整數根和拋物線等知識點結合，所以我們繼續通過真題來看看此類問題的一般解法。
第一部分真題精講
【例1】2010，西城，一模
已知：關於的方程．
⑴求證：取任何實數時，方程總有實數根；
⑵若二次函式的圖象關於軸對稱．
①求二次函式的解析式；
②已知一次函式，證明：在實數範圍內，對於的同乙個值，這兩個函式所對應的函式值均成立；
⑶在⑵條件下，若二次函式的圖象經過點，且在實數範圍內，對於的同乙個值，這三個函式所對應的函式值，均成立，求二次函式的解析式．
【思路分析】本題是一道典型的從方程轉函式的問題，這是比較常見的關於一元二次方程與二次函式的考查方式。由於並未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論m=0和m≠0兩種情況，然後利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關於y軸對稱的二次函式的性質，即一次項係數為0，然後求得解析式。
第二問加入了乙個一次函式，證明因變數的大小關係，直接相減即可。事實上這個一次函式恰好是拋物線的一條切線，只有乙個公共點（1，0）。根據這個資訊，第三問的函式如果要取不等式等號，也必須過該點。
於是通過代點，將用只含a的表示式表示出來,再利用,構建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,於是可以得出結果.
【解析】
解：（1）分兩種情況：
當時，原方程化為，解得， （不要遺漏）
∴當，原方程有實數根.
當時，原方程為關於的一元二次方程，
∵.∴原方程有兩個實數根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小於0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了）
綜上所述，取任何實數時，方程總有實數根.
（2）①∵關於的二次函式的圖象關於軸對稱，
∴.（關於y軸對稱的二次函式一次項係數一定為0）
∴.∴拋物線的解析式為.
②∵，（判斷大小直接做差）
∴（當且僅當時，等號成立）.
（3）由②知，當時，.
∴、的圖象都經過. （很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）
∵對於的同乙個值，，
∴的圖象必經過.
又∵經過，
∴. （巧妙的將表示式化成兩點式，避免繁瑣計算）
設.∵對於的同乙個值，這三個函式所對應的函式值均成立，
∴，∴.
又根據、的圖象可得 ，
∴.（a>0時,頂點縱座標就是函式的最小值）
∴. ∴.
而.只有，解得.
∴拋物線的解析式為.
【例2】2010，門頭溝，一模
關於的一元二次方程.
（1）當為何值時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點與點關於拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交於點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.
【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項係數不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關注的是第三問，要注意如果有一次函式和二次函式只有乙個交點，則需要設直線y=kx+b以後聯立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式並未包括斜率不存在即垂直於x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有乙個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.
【解析】：
（1）由題意得
解得解得當且時，方程有兩個不相等的實數根.
（2）由題意得
解得（舍） (始終牢記二次項係數不為0)
（3）拋物線的對稱軸是
由題意得 (關於對稱軸對稱的點的性質要掌握)
與拋物線有且只有乙個交點 (這種情況考試中容易遺漏)
另設過點的直線（）
把代入，得，
整理得有且只有乙個交點，
解得綜上，與拋物線有且只有乙個交點的直線的解析式有，
【例3】
已知p（)和q（1，）是拋物線上的兩點．
（1）求的值；
（2）判斷關於的一元二次方程=0是否有實數根，若有，求出它的實數根；若沒有，請說明理由；
（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位，使平移後的圖象與軸無交點，求的最小值．
【思路分析】 拿到題目，很多同學不假思索就直接開始代點，然後建立二元方程組，
十分麻煩，計算量大，浪費時間並且可能出錯。但是仔細看題，發現p,q縱座標是一樣的，說明他們關於拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有乙個未知係數，所以輕鬆寫出對稱軸求出b。
第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的乙個熱點，在其他區縣的模擬題中也有類似的考察。考生一定要把握平移後解析式發生的變化，即左加右減(單獨的x),上加下減(表示式整體)然後求出結果。
【解析】
(1)因為點p 、q在拋物線上且縱座標相同，所以p、q關於拋物線對稱軸對稱並且到對稱軸距離相等．
所以，拋物線對稱軸，所以，．
（2）由（1）可知，關於的一元二次方程為=0．
因為，=16－8=80．
所以，方程有兩個不同的實數根，分別是
（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位後的解析式為．
若使拋物線的圖象與軸無交點，只需無實數解即可．
由==<0，得
又是正整數，所以得最小值為2．
【例4】2010，昌平，一模
已知拋物線，其中是常數．
（1）求拋物線的頂點座標；
（2）若，且拋物線與軸交於整數點（座標為整數的點），求此拋物線的解析式．
【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,裡面就是乙個關於x的完全平方式,從而得到拋物線的頂點式,節省了時間.第二問則需要把握拋物線與x軸交於整數點的判別式性質.這和一元二次方程有整數根是一樣的.
尤其注意利用題中所給,合理變換以後代入判別式,求得整點的可能取值.
（1）依題意，得，
∴拋物線的頂點座標為
（2）∵拋物線與軸交於整數點，
∴的根是整數．
∴是整數．
∵，∴是整數．
∴是整數的完全平方數．
∵，∴． (很多考生想不到這種變化而導致後面無從下手)
∴取1，4，
當時，； 當時， ．
∴的值為2或 ．
∴拋物線的解析式為或．
【例5】2010，平谷，一模
已知：關於的一元二次方程（為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值範圍；
（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的乙個固定點；
（3）若是整數，且關於的一元二次方程有兩個不相等的整數根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移後的解析式．
【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m－1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點既是求乙個和未知係數無關的x,y的取值.
對於本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進行因式分解得到y=(mx－x－1)(x+1)就可以看出當x=－1時,y=0，而這一點恰是拋物線橫過的x軸上固定點.如果想不到因式分解,由於本題固定點的特殊性(在x軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標準答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至於第三問,又是整數根問題+平移問題,因為第二問中已求出另一根,所以直接令其為整數即可,比較簡單.
解：（1）
∵方程有兩個不相等的實數根,
∴ ∵,
∴的取值範圍是且.
（2）證明：令得.
∴.∴ (這樣做是因為已經知道判別式是,計算量比較小,如果根號內不是完全平方就需要注意了)
∴拋物線與軸的交點座標為,
∴無論取何值，拋物線總過定點
（3）∵是整數 ∴只需是整數.
∵是整數，且,
∴ 當時，拋物線為．
把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為
【總結】 中考中一元二次方程與二次函式幾乎也是必考內容，但是考點無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根範圍，平移以及直線與拋物線的交點問題。總體來說這類題目不難，但是需要計算認真，尤其是求根公式的應用一定要注意計算的準確性。這種題目大多包涵多個小問。
第一問往往是考驗判別式大於0，不要忘記二次項係數為0或者不為0的情況。第2,3問基於函式或者方程對其他知識點進行考察，考生需要熟記對稱軸，頂點座標等多個公式的直接應用。至於根與係數的關係（韋達定理）近年來中考已經盡量避免提及，雖不提倡但是應用了也不會扣分，考生還是盡量掌握為好，在實際應用中能節省大量的時間。
第二部分發散思考
【思考1】. 2010，北京中考
已知關於的一元二次方程有實數根，為正整數.
（1）求的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關於的二次函式的圖象向下平移8個單位，求平移後的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移後的二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線
與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍.
【思路分析】去年中考原題,相信有些同學已經做過了.第一問自不必說，判別式大於0加上k為正整數的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當k取何值時方程有整數根,乙個個代進去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表示式減去8.
但是注意第三問,函式關於對稱軸的翻摺,旋轉問題也是比較容易在中考**現的問題,一定要熟練掌握關於對稱軸翻摺之後函式哪些地方發生了變化,哪些地方沒有變.然後利用畫**決問題.
二次函式與一元二次方程
二次函式與方程1 主備上課日期 月 日 學習目標 1.會用影象法求一元二次方程的近似根，獲得用影象法求方程近似根的體驗 2 理解並掌握二次函式的影象和橫軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。3培養學生自主探索，合作交流，共同解決問題的良好品質。學習過程 一 情境匯入 自主學習節頭引例 小球...
二次函式與一元二次方程學案
學習目標 1 體會二次函式與一元二次方程之間的聯絡 2 理解二次函式的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。學習重點 把握二次函式圖象與x軸 或y h 交點的個數與一元二次方程的根的關係。學習難點 應用一元二次方程根的判別式 求根公式對二次函式及其圖象進行進一步的理解，並結合二次函...
22 2 1 二次函式與一元二次方程
22.2二次函式與一元二次方程 一 班級姓名 一 單元匯入明確目標 1.理解二次函式與方程之間的聯絡。2.掌握二次函式圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，3.會用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根.知識鏈結 1.直線與軸交於點 與軸交於點 2.一元二次方程，當 時，方程有兩個不...