第一部分相互聯絡
【例1】已知：關於的方程．
⑴求證：取任何實數時，方程總有實數根；
⑵若二次函式的圖象關於軸對稱．
①求二次函式的解析式；
②已知一次函式，證明：在實數範圍內，對於的同乙個值，這兩個函式所對應的函式值均成立；
⑶在⑵條件下，若二次函式的圖象經過點，且在實數範圍內，對於的同乙個值，這三個函式所對應的函式值，均成立，求二次函式的解析式．
解：（1）分兩種情況：
當時，原方程化為，解得， （不要遺漏）
∴當，原方程有實數根.
當時，原方程為關於的一元二次方程，
∵.綜上所述，取任何實數時，方程總有實數根.
（2）①∵關於的二次函式的圖象關於軸對稱，
∴.（關於y軸對稱的二次函式一次項係數一定為0）∴
∴拋物線的解析式為.
②∵，（判斷大小直接做差）
∴（當且僅當時，等號成立）.
（3）由②知，當時，.
∴、的圖象都經過. （很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）
∵對於的同乙個值，，
∴的圖象必經過. 又∵經過，
∴. （巧妙的將表示式化成兩點式，避免繁瑣計算）
設.∵對於的同乙個值，這三個函式所對應的函式值均成立，∴，
∴.又根據、的圖象可得 ，
∴.（a>0時,頂點縱座標就是函式的最小值）
∴. ∴.
而.只有，解得.
∴拋物線的解析式為.
【例2】、關於的一元二次方程.
（1）當為何值時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點與點關於拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交於點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.
【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項係數不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關注的是第三問，要注意如果有一次函式和二次函式只有乙個交點，則需要設直線y=kx+b以後聯立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式並未包括斜率不存在即垂直於x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有乙個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.
【解】：（1）由題意得解得
解得 當且時，方程有兩個不相等的實數根.
（2）由題意得
解得（舍） ∴
（3）拋物線的對稱軸是由題意得
與拋物線有且只有乙個交點 (這種情況考試中容易遺漏)
另設過點的直線（）
把代入，得， ∴
整理得有且只有乙個交點，； 解得 ∴
綜上，與拋物線有且只有乙個交點的直線的解析式有，
【例3】、已知p（)和q（1，）是拋物線上的兩點．
（1）求的值；
（2）判斷關於的一元二次方程=0是否有實數根，若有，求出它的實數根；若沒有，請說明理由；
（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位，使平移後的圖象與軸無交點，求的最小值．
【解】(1)因為點p 、q在拋物線上且縱座標相同，所以p、q關於拋物線對稱軸對稱並且到對稱軸距離相等．
所以，拋物線對稱軸，所以，．
（2）由（1）可知，關於的一元二次方程為=0．
因為，=16－8=80．
所以，方程有兩個不同的實數根，分別是
（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位後的解析式為．
若使拋物線的圖象與軸無交點，只需無實數解即可．由==<0，得
又是正整數，所以得最小值為2．
【例4】、已知拋物線，其中是常數．
（1）求拋物線的頂點座標；
（2）若，且拋物線與軸交於整數點（座標為整數的點），求此拋物線的解析式．
解：依題意，得，∴
∴拋物線的頂點座標為 （計算技巧）
（2）∵拋物線與軸交於整數點，∴的根是整數．
∴是整數．∵，
∴是整數． ∴是整數的完全平方數．∵，
∴． ∴取1，4，（這種關係式變化很重要）
當時，； 當時， ．∴的值為2或 ．
∴拋物線的解析式為或．
【例5】、已知：關於的一元二次方程（為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值範圍；
（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的乙個固定點；
（3）若是整數，且關於的一元二次方程有兩個不相等的整數根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移後的解析式．
解：（1）
∵方程有兩個不相等的實數根,∴ ∵,
∴的取值範圍是且.
（2）證明：令得.
∴.∴ (原式可進行因式分解，求根更方便)
∴拋物線與軸的交點座標為,
∴無論取何值，拋物線總過定點
（3）∵是整數 ∴只需是整數.∵是整數，且,
∴ 當時，拋物線為．
把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為：
【總結】 中考中一元二次方程與二次函式幾乎也是必考內容，但是考點無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根範圍，平移以及直線與拋物線的交點問題。總體來說這類題目不難，但是需要計算認真，尤其是求根公式的應用一定要注意計算的準確性。
第二部分發散思考
【思考1】、已知關於的一元二次方程有實數根，為正整數.
（1）求的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關於的二次函式的圖象向下平移8個單位，求平移後的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移後的二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍.
解：（1）由題意得，．∴．
∵為正整數，∴．
（2）當時，方程有乙個根為零；
當時，方程無整數根；
當時，方程有兩個非零的整數根．
綜上所述，和不合題意，捨去；符合題意．
當時，二次函式為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為．
（3）設二次函式的圖象與軸交於
兩點，則，．
依題意翻摺後的圖象如圖所示．
當直線經過點時，可得；
當直線經過點時，可得．
由圖象可知，符合題意的的取值範圍為．
【思考2】、已知：關於的一元二次方程
（1）若求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若12＜m＜40的整數，且方程有兩個整數根，求的值．
證明：∴方程有兩個不相等的實數根。
（2）∵方程有兩個整數根，必須使且m為整數．
又∵12＜m＜40， ∴ 5＜＜9．
∴m=24
【思考3】、已知: 關於x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數，二次函式y=ax2－bx+kc（c≠0）的圖象與x軸乙個交點的橫座標為1.
（1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；
（2）求代數式的值；
（3）求證: 關於x的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數根.
解：由 kx=x+2，得(k－1) x=2；依題意 k－1≠0
∵ 方程的根為正整數，k為整數, ∴ k－1=1或k－1=2. ∴ k1= 2, k2=3.
（2）解：依題意，二次函式y=ax2－bx+kc的圖象經過點（1，0），
∴ 0 =a－b+kc, kc = b－a .
∴=（3）證明：方程②的判別式為 δ=(－b)2－4ac= b2－4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 則－4ac>0. 故δ=b2－4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根.
( ii )若ac>0, 由(2)知a－b+kc =0, 故 b=a+kc.
δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac
= a2－2kac+(kc)2+4kac－4ac=(a－kc)2+4ac(k－1).
∵ 方程kx=x+2的根為正實數， ∴ 方程(k－1) x=2的根為正實數.
由 x>0, 2>0, 得 k－1>0. ∴ 4ac(k－1)>0.∵ (a－kc)20,
∴δ=(a－kc)2+4ac(k－1)>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根.
【思考4】、. 已知：關於的一元二次方程．
（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根滿足，求的值．
（1）不論取何值，方程總有兩個不相等實數根
（2）由原方程可得（用因式分解求根更快）
∴ ∴
又 經檢驗：符合題意． ∴ 的值為4．
二次函式與一元二次方程
二次函式與方程1 主備上課日期 月 日 學習目標 1.會用影象法求一元二次方程的近似根，獲得用影象法求方程近似根的體驗 2 理解並掌握二次函式的影象和橫軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。3培養學生自主探索，合作交流，共同解決問題的良好品質。學習過程 一 情境匯入 自主學習節頭引例 小球...
二次函式與一元二次方程學案
學習目標 1 體會二次函式與一元二次方程之間的聯絡 2 理解二次函式的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。學習重點 把握二次函式圖象與x軸 或y h 交點的個數與一元二次方程的根的關係。學習難點 應用一元二次方程根的判別式 求根公式對二次函式及其圖象進行進一步的理解，並結合二次函...
22 2 1 二次函式與一元二次方程
22.2二次函式與一元二次方程 一 班級姓名 一 單元匯入明確目標 1.理解二次函式與方程之間的聯絡。2.掌握二次函式圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，3.會用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根.知識鏈結 1.直線與軸交於點 與軸交於點 2.一元二次方程，當 時，方程有兩個不...