【學習目標】1．體會二次函式與一元二次方程之間的聯絡；
2．理解二次函式的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。
【學習重點】把握二次函式圖象與x軸（或y=h）交點的個數與一元二次方程的根的關係。
【學習難點】應用一元二次方程根的判別式、求根公式對二次函式及其圖象進行進一步的理解，並結合二次函式的圖象加以分析以解決一些問題。
【學習過程】
一、學習準備
1．已學二次函式的哪兩種表示式？ 2．分解因式：x2-2x-33．解方程：x2 -2x-3=0
二、解讀教材
4．一元二次方程的兩根x1，x2在**？
在座標系中畫出二次函式y= x2 -2x-3的圖象，研究拋物線與x軸的交點，你發現了什麼？
再找乙個一元二次方程和二次函式試一試吧!
5．二次函式的兩根式（交點式）
二次函式的另一種表示式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）叫做二次函式的兩根式又稱交點式。
練習：將下列二次函式化為兩根式：
（1）y=x2+2x-152）y= x2+x-23）y=2x2+2x-12；
（4）y=3(x-1)2-35）y=4x2+8x+46）y=-2(x-3)2+8x
三、挖掘教材
6．拋物線與x軸是否有交點？
例你能利用a、b、c之間的某種關係判斷二次函式的圖象與x軸何時有兩個交點，何時乙個交點，何時沒有交點嗎？
即時訓練：（1）已知二次函式y=mx2-2x+1的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值範圍為
（2）拋物線y=x2-(m-4)x-m與x軸的兩個交點y軸對稱，則其頂點座標為
（3）拋物線y=x2-(a+2)x+9與x軸相切，則a
7．弦長公式：拋物線與x軸的兩個交點的距離叫弦長（如下圖中的ab）。
例求拋物線y= x2 -2x-3與x軸兩個交點間的距離。
總結：已知拋物線與x軸的交點座標是a（x1，0）和b（x2，0），
那麼拋物線的對稱軸xab
即時訓練：拋物線y=2(x-2)(x＋5)的對稱軸為與x軸兩個交點的距離為
四、反思小結——二次函式與一元二次方程的關係
知識點2．二次函式y=ax2＋bx＋c的圖象與x軸的弦長公式
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
例：二次函式ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2與x軸有無交點?若有，請說出交點座標；若沒有，請說明理由:
⑵ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑶ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑴一元二次方程的實數根就是對應的二次函式與
軸交點的
⑵二次函式與一元二次方程的關係如下：（一元二次方程的實數根記為）
⑶二次函式與軸交點座標是
【例1】
已知：關於的方程．
⑴求證：取任何實數時，方程總有實數根；
⑵若二次函式的圖象關於軸對稱．
①求二次函式的解析式；
②已知一次函式，證明：在實數範圍內，對於的同乙個值，這兩個函式所對應的函式值均成立；
⑶在⑵條件下，若二次函式的圖象經過點，且在實數範圍內，對於的同乙個值，這三個函式所對應的函式值，均成立，求二次函式的解析式．
【例2】關於的一元二次方程.
（1）當為何值時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點與點關於拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交於點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.
【例3】已知p（)和q（1，）是拋物線上的兩點．
（1）求的值；
（2）判斷關於的一元二次方程=0是否有實數根，若有，求出它的實數根；若沒有，請說明理由；
（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數）個單位，使平移後的圖象與軸無交點，求的最小值．
【例4】
已知關於的一元二次方程有實數根，為正整數.
（1）求的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關於的二次函式的圖象向下平移8個單位，求平移後的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移後的二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線
與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍.
【達標測評】
1．拋物線y=-9(x-4)(x＋6)與x軸的交點座標為
2．拋物線y=2x2＋8x＋m與x軸只有乙個交點，則m
3．二次函式y=kx2＋3x－4的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值範圍
4．拋物線y=3x2＋5x與兩座標軸交點的個數為（ ）a．3個 b．2個 c．1個 d．0個
5．與x軸不相交的拋物線是（ ）a．y=3x2-4 b．y=-2x2-6 c．y=-x2-6 d．y=- (x+2)2-1
6．已知二次函式y=x2＋mx＋m－2．求證：無論m取何實數，拋物線總與x軸有兩個交點。
7．拋物線y=mx2＋(3－2m)x＋m－2（m≠0）與x軸有兩個不同的交點。
（1）求m的取值範圍2）判斷點p(1，1)是否在此拋物線上？
8．二次函式y=x2－(m－3)x－m的圖象如圖所示。
（1）試求m為何值時，拋物線與x軸的兩個交點間的距離是3？
（2）當m為何值時，方程x2－(m－3)x－m=0的兩個根均為負數？
（3）設拋物線的頂點為m，與x軸的交點p、q，求當pq最短時△mpq的面積。
一、填空題
1、已知拋物線與軸交於兩點a（，0），b（，0），且，則
2、拋物線與軸的兩交點座標分別是a（，0），b（，0），且，則的值為
3、若拋物線交軸於a、b兩點，交軸於點c，且∠acb＝900，則
4、已知二次函式與軸交點的橫座標為、，則對於下列結論：①當時，；②當時，；③方程＝0有兩個不相等的實數根、；④，；⑤，其中所有正確的結論是只填寫順號）。
二、解答題
5、設p是實數，二次函式的圖象與x軸有兩個不同的交點.求證：；（2）若a，b兩點之間的距離不超過，求p的最大值.
6.已知關於的一元二次方程。
（1）求證：當時，原方程永遠有兩個實數根；
（2）若原方程的兩個實根乙個小於5，另乙個大於2，求m的取值範圍。
例1 求拋物線與x軸的兩個交點
例2 已知二次函式
（1）若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值範圍。
（2）若拋物線的頂點在x軸上，求k的取值
例3 已知拋物線的圖象與x軸有兩個交點為，且，求m的值。
例4 已拋物線（為實數）。
（1）為何值時，拋物線與軸有兩個交點？
（2）如果拋物線與軸相交於a、b兩點，與軸交於點c，且△abc的面積為2，求該拋物線的解析式。
例5 已知關於x的函式的影象與x軸總有交點。
（1）求a的取值範圍；（2）設函式的影象與x軸有兩個不同的交點a，b，其座標為a（x,0）,
b（x，0），當時，求a的值。
例6 已知二次函式（≠0）的影象過點e（2，3），對稱軸為，它的影象與軸交於兩點a（，0），b（，0），且，。
（1）求這個二次函式的解析式；
（2）在（1）中拋物線上是否存在點p，使△poa的面積等於△eob的面積？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由。
例7 如圖，在平面直角座標系中，拋物線=－++經過a（0，－4）、
b（，0）、 c（，0）三點，且-=5．
（1）求、的值；
（2）在拋物線上求一點d，使得四邊形bdce是以bc為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點p，使得四邊形bpoh是以ob為對角線的菱形？若存在，求出點p的座標，並判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．
例8 如圖，拋物線，其中、、分別是△abc的∠a、
∠b、∠c的對邊。（1）求證：該拋物線與軸必有兩個交點；
（2）設有直線與拋物線交於點e、f，與軸交於點m，拋物線與軸交於點n，若拋物線的對稱軸為，△mne與△mnf的面積之比為5∶1，求證：△abc是等邊三角形；
例9 已知拋物線，
（1）確定此拋物線的對稱軸方程和頂點座標；
（2）如圖，若直線分別與拋物線交於兩個不同的點a、b，與直線相交於點p，試證；
二次函式與一元二次方程
二次函式與方程1 主備上課日期 月 日 學習目標 1.會用影象法求一元二次方程的近似根，獲得用影象法求方程近似根的體驗 2 理解並掌握二次函式的影象和橫軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。3培養學生自主探索，合作交流，共同解決問題的良好品質。學習過程 一 情境匯入 自主學習節頭引例 小球...
22 2 1 二次函式與一元二次方程
22.2二次函式與一元二次方程 一 班級姓名 一 單元匯入明確目標 1.理解二次函式與方程之間的聯絡。2.掌握二次函式圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，3.會用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根.知識鏈結 1.直線與軸交於點 與軸交於點 2.一元二次方程，當 時，方程有兩個不...
22 2二次函式與一元二次方程
1.二次函式的圖象如圖，點在軸的正半軸上，且，則 2.已知二次函式的圖象如圖所示，那麼關於的方程的根的情況是 3.若，是方程的兩個根，則實數，的大小關係為 4.如圖是二次函式的圖象，使成立的的取值範圍是 5.二次函式的圖象如圖所示，若有兩個不相等的實數根，則的取值範圍是 6.一般的，如果二次函式的圖...