《數形結合思想的應用》教學設計說明
教學目標
（1）理解數形結合的本質：幾何圖形的性質反映了數量關係，數量關係決定了幾何影象的性質；
（2）了解數形結合在解決數學問題中的作用，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決.
教學重點
（1）理解數形結合的本質；
（2）能夠用數形結合思想方法探求解決問題的思路.
教學難點
在代數與幾何的結合點上找出解題思路，從而以簡捷途徑解決問題
教材分析
數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：①以數解形：
建立適當的代數模解決有關幾何的問題型。②以形助數：建立幾何模型(或函式圖象)解決有關方程和函式的問題。
③數形結合：與函式有關的代數、幾何綜合性問題。
《課程標準》中明確指出：「加強數學思想方法在進行數學思考和解決問題中的作用，引導學生從解題的思想和方法上考慮問題，達到巧妙解題。」數形結合思想作為一種常規而又十分重要的思想方法，要求抽象思維和形象思維結合。
通過「以形助數」或「以數解形」，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優化解題途徑的目的。
學情分析
學生已經掌握了二次函式解析式與影象性質的相關知識，對於代數與圖形的結合有了一定的體會。在解決簡單函式問題時，會使用一種或幾種方法解決，而對於一些綜合型問題無法將解析式與影象合理聯絡，因此本節課致力於從數與形的不同角度分析問題解法，在代數與幾何的結合點上找出解題思路，從而以簡捷途徑解決問題。
教學方法分析
縱觀整個初中階段的數學教學，數形結合思想總是隱含其中、逐步滲透的，進入中考複習第一輪時必須進行系統的介紹、運用。結合學生的知識和技能的掌握情況及其心理特徵，本節課擬採用引導發現探索法，教師適當引導，學生自主探索、合作交流。
對於學生較難理解的部分，利用多**輔助教學，使學生更容易從直觀上理解「數」和「形」之間的關係。
教學過程設計
引入：數學結合作為一種重要的數學思想，同學們並不陌生。本學期所學習的二次函式相關知識，就由函式表示式與影象性質兩部分組成。
從影象角度分析，二次函式影象是一條拋物線，具有對稱性、最高（低）點等特徵；但若要精確獲得拋物線上某一點的具體位置，則需要借助解析式求出座標。下面考考大家的影象分析能力，試著自己從拋物線影象中提取重要資訊，回答下列問題。
例1. 已知二次函式的圖象如圖所示，則下列結論中：
①2a+b=0；
②abc>0；
③；④方程的兩根之和大於0；
⑤方程有兩個實數根，
正確的是
【原因】解：①根據影象可知，二次函式對稱軸為直線x=1，則
∴-b=2a ∴2a+b=0
②觀察開口方向、截距、對稱軸可知：a>0，c<0；
∵，a>0 ∴b<0
③∵當時，且由影象可知：時對應的點在x軸下方
∴④法一：【數】由韋達定理
法二：【形】二次函式的零點即為對應的二次方程的兩根.根據影象對稱軸與影象的乙個零點，可知另乙個零點為3. 所以
⑤法一：【數】將原式變形為
∵其中，
∴∴方程有兩個實數根
法二：【形】令，方程的根即為y1與y2影象交點的x值。由影象可知y1與y2影象有兩個交點，所以方程有兩個實數根。
例1小結：（1）注意觀察二次函式影象的開口方向，對稱軸，特殊點座標
（2）函式影象公共點的橫座標，即為兩解析式聯立後所得方程的解
【設計意圖】從「看圖說話」入手，總結觀察二次函式影象時需要注意的關鍵資訊。通過課件演示構建起函式影象公共點與方程的解的聯絡。
例2. 如圖，已知在點a（0,4）是y軸上一點，過點c（4，6）作x軸的垂線，垂足為點d，點b（t，0）為od上一動點（不與o，d重合），聯結ab，ac，e為dc上一動點，且，過點e作ef∥ab，交ac於點f.
（1）設點e的縱座標為ye，求ye關於t的函式關係式，並寫出t的取值範圍；
（2）若存在一點b，使四邊形abef為矩形，求t的值.
解：（1）法一：根據題意：ab=,
ae=, be=
代入化簡得：
法二：,
, 又，
∽（2）法一：若四邊形是矩形，則
其中，ac=,bc=
代入解得：t=2
法二：過點作⊥，垂足為點
若四邊形是矩形，則∥,
又，解得（舍），
法三：直線ac的解析式為：
若四邊形是矩形，則⊥ab
∴kab=-2， ∴直線ab的解析式為：y=-2x+4
令y=0，得x=2 ∴t=2
例2小結：處理垂直（直角）的幾種方法：
1. 勾股定理
2. 銳角三角比
3. 三直角型相似
【設計意圖】通過不同方法的介紹，體會從數與形不同角度解決問題時的繁簡區別，總結處理垂直關係的幾種做法。鼓勵學生通過實踐，自主探尋最為簡捷的解題方法。
例3.已知例1中的二次函式解析式為：，其影象與x軸交於a、b兩點（點a在點b左側），與y軸交於點c.
在該拋物線對稱軸上是否存在點p，使得△pac的周長最小？若存在，求出點p的座標；若不存在請說明理由.
【思考題】（機動）在第四象限內，該拋物線上是否存在點q，使得△qbc的面積最大？若存在，求出點q座標；若不存在請說明理由.
解：法一：利用兩點之間距離公式
假設p（1，t），利用兩點之間距離公式表示pc、pa，進一步將
c△pac表示為關於t的表示式，但最小值以目前知識無法求出；
法二：結合影象性質
∵a、b關於二次函式對稱軸對稱， ∴對稱軸上點到a、b兩點距離相等
∵ac為定長 ∴c△pac的最小值在（pc+pa）min=（pc+pb）min時取到
∵兩點之間線段距離最短， ∴（pc+pb）min=cb=
∴c△pac的最小值為
【設計意圖】不同於之前的例題，此例從單一的代數角度入手難以解決，此時則需要結合影象性質輔助解答。
課堂總結：
「數形結合」作為一種重要的思想方法，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助數的精確性來闡明形的某些屬性，二是借助形的直觀性來闡明數之間的某種關係。
幾何圖形的形象直觀，便於理解；代數方法的一般性，解題過程的操作性強，便於把握。如例1與例2，我們可以選取兩種角度中較為簡便的方法解答，但在解決綜合問題時，往往需要兩種方法的結合——如例3，單一方向無法解決問題。
介紹華羅庚《數形結合詩》：數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。
【思考題】（機動）
法一：設q（a，）（0∴當a=時，，q（）.
注：從代數出發，落實到圖形
法二：設與bc平行的直線解析式為：y=x+c（c<-3），
與聯立得：,
令解得：,
∴解得：x=, ∴q()
注：從圖形出發，落實到代數
【設計意圖】從數與形兩種不同的角度切入此題，感受不同方法在解題過程中的結合。第一種方法從點座標入手，需要借助圖形分割進行運算；第二種方法從影象入手，最終也需要代數運算求解。
作業布置
配套專題作業
板書設計
數形結合思想專題複習
我們學習的數學內容或以 數 的形式呈現，例如代數式 方程 不等式 函式關係式等，或以 形 的形式呈現，例如線與角 三角形 四邊形 圓 函式圖象等。數 與 形 在描述數學問題時各有鞦韆，密切相關。正如華羅庚先生所說的那樣 數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休 數形結合思想就是...
教學設計說明
教案說明 一 授課內容的數學本質與教學目標定位 教學內容 本節課是北師大版教材七年級 下 第七章 生活中的軸對稱 第二節 簡單的軸對稱圖形 的第一課時 主要內容是經歷探索簡單圖形軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱圖形的特徵，並由此探索了解角平分線的有關性質，應用角平分線的性質解決一些簡單問題 教學目標...
教學設計說明
復合迴圈切削指令g71 綜述現代職業教育引入了多種資訊化教學手段之後，改變了科學技術科目教學表達枯燥 紙上談兵的狀況。本設計應用於數控應用技術科目中g71指令的教學，教學設計中運用多種多 講解手段突出教學重點，運用 演示走刀軌跡輔助學生突破難點。關鍵是運用了數控 軟體，讓學生在實踐中進行探索性的學習...