平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性體現在邊、角、對角線上，矩形、菱形是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性體現在有乙個角是直角，菱形的特殊性體現在鄰邊相等，所以，它們既有平行四邊形的性質，又有各自特殊的性質．
對角線是解決四邊形問題的常用線段，對角線本身的特徵又可以決定四邊形的形狀、大小，連對角線後，平行四邊形就產生特殊三角形，因此解平行四邊形相關問題時，既用到全等三角形法，特殊三角形性質，又要善於在乎行四邊形的背景下探索問題，利用平行四邊形豐富的性質為解題服務．
熟悉以下基本圖形、基本結論：
例題求解
【例1】 如圖，在矩形abcd中，已知ad=12，ab=5，p是ad邊上任意一點，pe⊥bd於e，pf⊥ac於f，那麼pe+pf的值為
(全國初中數學聯賽試題)
思路點撥分別求出pe、pf困難，△aod為等腰三角形，若聯想「到等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等於腰上的高」這一性質，則問題迎刃而解．
注特殊與一般是對立統一的，在一定條件下可以互相轉化，相對於一般而言，特殊的事物往往更簡單、更直觀、更具體．因而人們常常通過特殊去認識一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更為深刻地反映著事物的本質，所以人們也往往通過一般去了解特殊．
一般與特殊，是知識之間聯絡的一種重要形式，知識常常在一般到特殊或特殊到一般的變化過程中，不斬地得到延伸與拓展．
【例2】 已知四邊形abcd，從下列條件中：(1)ab∠cd，(2)bc∥ad；(3)ab=cd；（4）bc=ad；(5)∠a=∠c；(6)∠b=∠d．
任取其中兩個，可以得出「四邊形abcd是平行四邊形」這一結論的情況有（ ）
a．4種 b．9種 c．13種 d． 15種
(2023年山東省競賽題)
思路點撥根據平行四邊形的判定方法及新的組合方式判定．
【例3】】 如圖，在△adc中，∠dac=90°，ad⊥bc，dc、af分別是∠abc、∠dac的平分線，be和ad交於g，求證：gf∥ac．(湖北省荊州市中考題)
思路點撥從角的角度證明困難，鏈結cf，在四邊形agfe的背景下思考問題，證明四邊形agfe為特殊平行四邊形，證題的關鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形．
【例4】 如圖，設p為等腰直角三角形acb斜邊ab上任意一點，pe⊥ac於點e，pf⊥bc於點f，pg⊥ef於g點，延長gp並在其延長線上取一點d，使得pd＝pc，求證：bc⊥bd，且bc=bd．(全國初中數學聯賽試題)
思路點撥儘管圖形複雜，但證明目標明確，只需證明△cpb≌△dpb，應從圖中分離出特殊三角形、特殊四邊形，充分運用它們的性質為證題服務．
【例5】 如圖，在等腰三角形abc中，延長邊ab到點d，延長邊ca到點e，鏈結de，恰有ad=bc=ce=de．求∠bac的度數．
(2023年北京市競賽題)
思路點撥題設條件給出的是線段的等量關係，要求的卻是角的度數，相等的線段可得到全等三角形、特殊三角形，為此需通過構造平行四邊形改變它們的位置．
注課本中平行四邊形的判定定理是從邊、角、對角線三個方面**的，一般情況是，從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產生許多判定平行四邊形的命題．其中有真命題與假命題，對於假命題，要善於並熟悉構造反例．
構造反例是學習數學的一種重要技能，可以幫助我們理解概念．培養推理能力，數學史上就曾有許多著名的論斷被乙個巧妙的反例推翻的例項．
若題設條件中有彼此平行的線段或造成平行的因素，則通過作平行線，構造平行四邊形，這是解四邊形問題的常用技巧，這是由於平行四邊形能使角的位置更理想，送線段到恰當的地方，使線段比良性傳遞．
學歷訓練
1．如圖，bd是平行四邊形abcd的對角線，點e、f在bd上，要使四邊形aecf是平行四邊形，還需要增加的乙個條件是填上你認為正確的乙個即可，不必考
慮所有可能情形) (2023年寧波市中考題)
2．(1)如圖，已知矩形abcd中，對角線ac、bd相交於o，ae⊥bd於e，若∠dae：∠bae＝3：1，則∠cac河南省中考題)
(2)矩形的乙個角的平分線分矩形一邊為lcm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為_______cm2． (2023年武漢市中考題)
（第1題第2題第3題）
3．如圖，以△abc的三邊為邊在bc的同一側分別作三個等邊三角形，即△abd、△bce、△acf．
(1)四邊形adef是 ；
(2)當△abc滿足條件時，四邊形adef為矩形；
(3)當△abc滿足條件時，四邊形adef不存在． (2023年貴州省中考題)
4．已知乙個三角形的一邊長為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積為2023年天津市選拔賽試題)
5．四邊形的四條邊長分別是a、b、c、d，其中a、c為對邊，且滿足，則這個四邊形一定是( )
a．平行四邊形b．兩組對角分別相等的四邊形
c．對角線互相垂直的四邊形 d．對角線相等的四邊形
6．如圖，周長為68的矩形abcd被分成7個全等的矩形，則矩形abcd的面積為( )
a．98 b．196 c．280 d． 284. (2023年湖北省荊州市中考題)
（第6題第7題）
7．如圖，菱形花壇abcd的邊長為6m，∠b＝60°，其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分的圖形的周長(粗線部分)為( )
a．12 m b．20m c． 22m d．24m. (2023年吉林省中考題)
3．在凸四邊形abcd中，ab∥cd，且ab+bc=cd+da，則( )
a．ad>bc b．ad c．ad=bc d．ad與bc的大小關係不能確定
(第13屆「希望盃」邀請賽試題)
9．如圖，△abc為等邊三角形，d、f分別是bc、ab上的點，且cd=bf，以ad為邊作等邊△adc．
(1)求證：△acd≌△cnbf；
(2)當d**段bc上何處時，四邊形cdef為平行四邊形，且∠def=30°?
證明你的結論． (2023年南通市中考題)
10．如圖，在rt△abc中，ab=ac，∠a=90°，點d為bc上任一點，df⊥ab於f，de⊥ac於c，m為bc的中點，試判斷△mef是什麼形狀的三角形，並證明你的結論．
(2023年黑龍江省中考題)
11．如圖，△abc中，點o是ac邊上的乙個動點，過點o作直線mn∥bc，設mn交∠bca的平分線於點e，交∠bca的外角平分線於點f．
(1)求證：co＝fo；
(2)當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形?並證明你的結論．
(3)當△abc滿足什麼條件時，四邊形aecf是正方形?
12．如圖，在平行四邊形abcd中，ef∥bc，gh∥ab，ef、gh的交點p在bd上，圖中有對四邊形面積相等，它們是2023年常州市中考題)
13．如圖，菱形abcd的對角線ac、bd相交於o，△aob的周長為3+，∠abc＝60°，則菱形abcd的面積為
（第12題第13題第14題）
14．如圖，矩形abcd的對角線相交於o，ae平分∠bad交bc於e，∠cae=15°，則∠boe
15．如圖，矩形abcd中，ab=8，bc=4，將矩形沿ac摺疊，點d落在點d′處，則重疊部分△afc的面積為山東省競賽題)
（第15題第16題第17題）
16．如圖，平行四邊形abcd中，∠abc=75°，af⊥bc於f，af交bd於e，若de=2ab，則∠aed的大小是( )
a．60° b．65° c．70° d．75° (「希望盃」邀請賽試題)
17．如圖，正△aef的邊長與菱形abcd的邊長相等，點e、f分別在bc、cd上，則∠b的度數是( )
a．70° b．75° c．80° d．95°
(重慶市競賽題)
18．如圖，正方形abcd外有一點p，p在bc外側，並在平行線ab與cd之間，若pa=，pb=，pc=，則pd=( )
a．2 b． c ．3 d． (「五羊杯」競賽題)
（第18題第19題）
19．如圖，在平行四邊形abcd中，bc=2ab，cz⊥ab於e，f為ad的中點，若∠aef=
54°，則∠b
a．54° b．60° c．66° d．72° (2023年武漢市選拔賽試題)
20．如圖，在rt△abc中，∠abc＝90°，∠c=60°，bc＝2，d是ac的中點，以d作de⊥ac與cb的延長線交於e，以ab、be為鄰邊作長方形abef，鏈結df，求df的長．
21．如圖，菱形的對角線ac與bd交於點o，延長ba到e，使ae=ab，鏈結oe，延長de交ca的延長線於f．求證：oe=df．
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形
平行四邊形 導學案 班級姓名設計者 李遠芸 課題 平行四邊形課型 新授 學習目標 1通過生活情景與實踐操作，直觀認識平行四邊形。2在觀察與比較中，使學生在頭腦裡建成長方形與四邊形間的區別與聯絡。3體會平行四邊形與生活的密切聯絡 學習重難點 通過生活情景與實踐操作，直觀認識平行四邊形。學習程序 課件引...
平行四邊形
平行四邊形 教學設計 第2課時 湖北省赤壁市車站中學王紅華 一 內容和內容解析 1 內容 平行四邊形對角線的性質 2 內容解析 這節課承接了上一節平行四邊形的性質 對邊相等，對角相等，本節繼續研究對角線互相平分的性質，課本先設定乙個 欄目，讓學生發現結論，形成猜想，然後利用三角形全等證明這個結論，對...