一、選擇題 1．已知=b+i（a，b∈r，i為虛數單位），則a+b等於( )
a．﹣4 b．﹣2 c．2 d．4
2．要得到函式f（x）=sin（2x+）的圖象，只需將函式g（x）=sin2x的圖象( )
a．向左平移個單位長度 b．向右平移個單位長度
c．向左平移個單位長度 d．向右平移個單位長度
3．如圖是兩個全等的正三角形，給出下列三個命題：①存在四稜錐，其正檢視、側檢視如圖；②存在三稜錐，其正檢視、側檢視如圖；③存在圓錐，其正檢視、側檢視如圖．其中所有真命題的序號是( )
a．①② b．②③ c．①③ d．①②③
4．由曲線y=x2，y=x圍成的封閉圖形的面積為( )
a．1 b． c． d．
5．設向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），則「x=3」是「∥」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
6．閱讀下面程式框圖，為使輸出的資料為11，則①處應填的數字可以為( )
a．4 b．5 c．6 d．7
7．已知函式f（x）=，若函式g（x）=f（x）﹣x恰有三個不同的零點，則實數m的取值範圍是a．m＜2 b．2＜m≤3 c．2≤m≤3 d．m＞3
8．如圖，直線mn過△abc的重心g（重心是三角形三條中線的交點），設=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），則mn的最小值是( )
a． b． c． d．
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）
9．二項式（x+y）6的展開式中，含x4y2的項的係數是
10．（幾何證明選做題）如圖圓o的直徑ab=6，p是ab的延長線上一點，過點p作圓o的切線，切點為c，連線ac，若∠cpa=30°，則pc
11．設x∈，y∈，則以（x，y）為座標的點落在不等式x+2y≥1所表示的平面區域內的概率為
12．已知雙曲線=1的右焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，則m該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為
13．已知函式f（x）=ex（sinx+a）在r上單調遞增，則實數a的取值範圍是
14．已知對映f：p（m，n）→p′（，）（m≥0，n≥0）．設點a（2，6），b（4，4），點m是線段ab上一動點，f：m→m′．當點m是線段ab的中點時，點m′的座標是當點m**段ab上從點a開始運動到點b結束時，點m的對應點m′所經過的路線長度為
15．在△abc中，角a，b，c的所對的邊分別為a，b，c，且a2+b2=ab+c2．
（ⅰ） 求tan（c﹣）的值；（ⅱ） 若c=，求s△abc的最大值．
16．在一台車床上生產某種零件，此零件的月產量與零件的市場**具有隨機性，且互不影響，其具體情況如表：表1：零件某年的每月產量（個/月）
月份第一季度第二季度第三季度第四季度
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
產量 500 400 625 625 500 500 500 500 500 400 400 625 表2：零件市場**（元/個）
零件市場** 8 10
概率 0.4 0.6請你根據表1中所給的資料，判斷該零件哪個季度的月產量方差最大；（結論不要求證明隨機抽取該種零件的乙個月的月產量記為x，求x的分布列隨機抽取該種零件的乙個月的月產量，設y表示該種零件的月產值，求y的分布列及期望．
17．如圖，多面體abcdef中，de⊥平面abcd，底面abcd是菱形，ab=2，
∠bad=60°，四邊形bdef是正方形． （ⅰ）求證：cf∥平面aed；
（ⅱ）求直線af與平面ecf所成角的正弦值**段ec上是否存在點p，使得ap⊥平面cef，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
18．已知橢圓c：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，右頂點為a，點m（1，0）為線段oa的中點，其中o為座標原點求橢圓c的方程；
（ⅱ）過點m任作一條直線交橢圓c於不同的兩點e，f，試問在x軸上是否存在定點n，使得∠enm=∠fnm？若存在，求出點n的座標；若不存在，說明理由．
19．已知函式f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．
（ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（ⅱ）若函式f（x）在區間（0，1）上無零點，求實數a的最大值．
20．已知數列滿足a1=4，a2=2，an+2=an+2[1﹣（﹣1）n]，n∈n*，k∈n*．
（ⅰ）求a3，a4，並直接寫出an （ⅱ）設sk=a1+a3+…+a2k﹣1，tk=a2+a4+…+a2k，分別求sk，tk關於k的表示式； （ⅲ）設wk=，求使wk＞2的所有k的值，並說明理由．
7．已知函式f（x）=，若函式g（x）=f（x）﹣x恰有三個不同的零點，則實數m的取值範圍是( )
a．m＜2 b．2＜m≤3 c．2≤m≤3 d．m＞3
解答： 解：∵函式g（x）=f（x）﹣x恰有三個不同的零點，∴g（x）在[m，+∞）上有乙個零點，在（﹣∞，m）上有兩個零點；即有在[m，+∞）上有3≥m，在（﹣∞，m）上有x2+5x﹣12=x，解得x=﹣6或2，即有m＞2．則有2＜m≤3．故選：
b．8． 解：根據題意g為三角形的重心，∴=（），
由於==（﹣m）+，
=n=，
因為g，m，n三點共線，根據共線向量基本定理知，存在實數λ，使得，
即，消去λ得m+n﹣3mn=0，m，n＞0∴m+n=3mn≥2，所以mn≥．所以mn的最小值為；
13．已知函式f（x）=ex（sinx+a）在r上單調遞增，則實數a的取值範圍是．
解答： 解：因為f（x）=ex（sinx+a），所以f′（x）=ex（sinx+a+cosx）．
要使函式單調遞增，則f′（x）≥0成立．
即sinx+a+cosx≥0恆成立．所以a≥﹣sinx﹣cosx，因為﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+）
所以﹣≤﹣sinx﹣cosx≤，所以，
14．已知對映f：p（m，n）→p′（，）（m≥0，n≥0）．設點a（2，6），b（4，4），點m是線段ab上一動點，f：m→m′．當點m是線段ab的中點時，點m′的座標是（，）；當點m**段ab上從點a開始運動到點b結束時，點m的對應點m′所經過的路線長度為．解：
（1）∵點m是線段ab的中點，由中點座標公式，∴m（3，5），由已知對映f：p（m，n）→p′（，）（m≥0，n≥0），∴點m′的座標是（，）．
（2）設m′（x，y），則m（x2，y2），線段ab方程為：x+y=8（2≤x≤4）∴對應點m′為x2+y2=8（≤x≤2，2≤y≤），∴路徑為一段圓弧，圓心角為15°，∴點m的對應點m′所經過的路線長度為8π×=．
15．解：（ⅰ）∵a2+b2=ab+c2，a2+b2﹣c2=ab，∴cosc==，
∵c為△abc內角，∴c=，則tan（c﹣）=tan（﹣）==2﹣；
（ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，∵s△abc=absinc=ab，∴s△abc≤，
當且僅當a=b=時「=」成立，則s△abc的最大值是．
16．解：（i） 第四季度的月產量方差最大．
（ii） x取值為x=400，500，625．
則p（x=400）=0.25；p（x=500）=0.5；p（x=625）=0.25．
所以隨機變數x的分布列為
x 400 500 625
p 0.25 0.5 0.25
（iii）因為400×8=3200，400×10=4000，500×8=4000，500×10=5000，625×8=5000，625×10=6250，
所以隨機變數y的所有可能取值為y=3200，4000，5000，6250．
所以p（y=3200）=0.4×0.25=0.1，
p（y=4000）=0.6×0.25+0.4×0.5=0.35，
p（y=5000）=0.6×0.5+0.4×0.25=0.4，
p（y=6250）=0.6×0.25=0.15
所以隨機變數y的分布列為
y 3200 4000 5000 6250
p 0.1 0.35 0.4 0.15
其期望為ey=3200×0.1+4000×0.35+5000×0.4+6250×0.15=4657.5．
17． 證明：（ⅰ）因為abcd是菱形，所以bc∥ad．
又bc平面ade，ad平面ade，所以bc∥平面ade..…又因為bdef是正方形，
所以bf∥de．因為bf平面ade，de平面ade，所以bf∥平面ade…
因為bc平面bcf，bf平面bcf，bc∩bf=b，
所以平面bcf∥平面aed…因為cf平面bcf，所以cf∥平面aed．…．…..
（ⅱ） 因為四邊形abcd為菱形，且∠bad=60°，所以△bcd為等邊三角形…
取bd的中點o，所以co⊥bd，取ef的中點g，鏈結og，則og∥de
因為de⊥平面abcd，所以og⊥平面abcd..…如圖建立空間直角座標系o﹣xyz．因為ab=2．所以…
所以，，．
設平面cef法向量為=（x，y，z），則有得 ，
令y=1．則…設af與平面ecf所成的角為θ，則，所以直線af與平面ecf所成角的正弦值為． （ⅲ）不存在…設p（x，y，z），，
由，得…
因為平面cef的法向量為 ．若ap⊥平面cef，則，即，..…得方程組無解，不符合題意．
綜上，不存在λ使得ap⊥平面cef．…．…..
18．已知橢圓c：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，右頂點為a，點m（1，0）為線段oa的中點，其中o為座標原點．（ⅰ）求橢圓c的方程；
（ⅱ）過點m任作一條直線交橢圓c於不同的兩點e，f，試問在x軸上是否存在定點n，使得∠enm=∠fnm？若存在，求出點n的座標；若不存在，說明理由．
解：（ⅰ） 由題意可得b=2，又因為，a2﹣b2=c2，
所以 ，故所求橢圓c的方程為；
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