虹口區2013學年度第一學期高三年級數學學科
期終教學質量監控測試題
一、填空題（每小題4分，滿分56分）
1、已知全集，，如果，則
2、不等式的解集是 ． productions後期製作
3、如果對一切都成立，則實數的取值範圍是
4、從長度分別為1、2、3、4的四條線段中任意取三條，則以這三條線段為邊可以構成三角形的概率是
5、雙曲線的焦點到漸近線的距離等於
6、已知是定義在上的偶函式，且在上單調遞增，則滿足的實數的範圍是
7、已知的展開式中，含項的係數等於160，則實數 ．
8、已知是各項均為正數的等比數列，且與的等比中項為2，則的最小值等於
9、已知橢圓的中心在原點，乙個焦點與拋物線的焦點重合，乙個頂點的座標為，則此橢圓方程為
10、給出以下四個命題：
（1）對於任意的，，則有成立；
（2）直線的傾斜角等於；
（3）在空間如果兩條直線與同一條直線垂直，那麼這兩條直線平行；
（4）在平面將單位向量的起點移到同乙個點，終點的軌跡是乙個半徑為1的圓．
其中真命題的序號是
11、已知是定義在上的奇函式，且當時，，則此函式的值域為 ．
12、已知函式，對於實數、、有，，則的最大值等於 ．
13、已知函式，且，則 。
14、函式與函式的影象所有交點的橫座標之和為
二、選擇題（每小題5分，滿分20分）
15、已知， ，則下列結論中正確的是（ ）
16、函式，下列結論不正確的（ ）
此函式為偶函式此函式是週期函式．小水製作
此函式既有最大值也有最小值． 方程的解為．
17、在中，記角、、所對的邊分別為、、，且這三角形的三邊長是公差為1的等差數列，若最小邊，則（ ）．
18、如圖1，乙個密閉圓柱體容器的底部鑲嵌了同底的圓錐實心裝飾塊，容器內盛有公升水．平放在地面,則水面正好過圓錐的頂點，若將容器倒置如圖2，水面也恰過點．以下命題正確的是( )．
圓錐的高等於圓柱高的；
圓錐的高等於圓柱高的
將容器一條母線貼地，水面也恰過點； 將容器任意擺放，當水面靜止時都過點．
三、解答題（滿分74分）
19、（本題滿分12分）如圖在長方體中，，，，點為的中點，點為的中點．
（1）求長方體的體積；
（2）若，，，求異面直線與所成的角．
20、（本題滿分14分）已知．，其中、為銳角，且．小水作品
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
21、（本題滿分14分）數列是遞增的等差數列，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和的最小值；
（3）求數列的前項和．
22、（本題滿分16分）已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，並求出此時圓的方程．
23、（本題滿分18分）．設函式．
（1）求函式在上的值域；
（2）證明對於每乙個，在上存在唯一的，使得；
（3）求的值．
虹口區2023年數學學科高考練習題答案
一、填空題（每小題4分，滿分56分）
1、； 2、； 345、3；
6、； 7、； 8、4； 9、； 10、（1）（4）；
11、； 1213、； 14、17；
二、選擇題（每小題5分，滿分20分）
15、； 16、； 17、； 18、；
三、解答題（滿分74分）
19、(12分) 解：（1） 連、． 是直角三角形， ．…………1分
是長方體， ，，又，
平面， ．
又在中4分………6分
（2）取的中點，連、．
，四邊形為平行四邊形，， 等於異面直線與所成的角或其補角．…………8分 productions後期製作
，，，得，，，……10分
，．異面直線與所成的角等於………………12分
20、（14分）解：（1）由，得，
得，得．…………4分
（2）， ．……………6分
，…………10分
當時，．
當時，．
為銳角14分
21、（14分）解：（1） 由，得、是方程的二個根， ，，此等差數列為遞增數列， ，，公差，．………………4分
（2），，
……………………8分
（3）由得，解得，此數列前四項為負的，第五項為0，從第六項開始為正的．……………………10分小水製作
當且時，
．…………12分
當且時，
．……………………14分
22、（16分）解：（1）拋物線的頂點為，準線方程為，圓的半徑等於1，圓的方程為．弦長………………………4分
（2）設圓心，則圓的半徑，
圓的方程是為：…………6分
令，得，得，，
是定值．………………8分
（3）由（2）知，不妨設，，，．
．………………11分
當時，．………………12分
當時，．
當且僅當時，等號成立14分
所以當時，取得最大值，此時圓的方程為．
16分23、（18分）解：（1），由令，．
對稱軸，在上單調遞增，在上的值域為．………………4分
（2）對於，有，，從而， , ,在上單調遞減, ,
在上單調遞減． 小水作品
又..………………7分
當時，（註用數學歸納法證明相應給分）
又，即對於任意自然數有
對於每乙個，存在唯一的，使得………………11分
（3）．
當時，．
.………………14分
當且時，．
……………18分
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