南通市2010屆高三第一次調研考試
數學一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1. 已知集合u=，m=，n=，則(m∪n) = ．
2．複數（i是虛數單位）的虛部為 ．
3．設向量a，b滿足：，，則 ．
4．在平面直角座標系xoy中，直線與直線互相垂直的充要條件是m= ．
5．函式的最小正週期是 ．
6．在數列中，若對於n∈n*，總有＝2n－1，則= ．
7．拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1，2，3，4的正四面體，其底面落於桌面，記所得的數字分別為x，y，則為整數的概率是 ．
8．為了解高中生用電腦輸入漢字的水平，隨機抽取了部分學生進行每分鐘輸入漢字個數測試，下圖是根據抽樣測試後的資料繪製的頻率分布直方圖，其中每分鐘輸入漢字個數的範圍是[50，150]，樣本資料分組為[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知樣本中每分鐘輸入漢字個數小於90的人數是36，則樣本中每分鐘輸入漢字個數大於或等於70個並且小於130個的人數是 ．
9．執行如圖所示程式框圖後，輸出的結果是 ．
10．關於直線和平面，有以下四個命題：
①若，則；②若，則；
③若，則且；④若，則或.
其中假命題的序號是 ．
11．已知函式若，則實數a的取值範圍是 ．
12．已知橢圓的中心在座標原點，焦點在x軸上，以其兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的
四邊形是乙個面積為4的正方形，設p為該橢圓上的動點，c、d的座標分別是，則pc·pd的最大值為 ．
13．設面積為s的平面四邊形的第i條邊的邊長記為ai（i=1，2，3，4），p是該四邊形內任意一點，p點到第i條邊的距離記為hi，若, 則.模擬上述結論，體積為v的三稜錐的第i個面的面積記為si（i=1，2，3，4），q是該三稜錐內的任意一點，q點到第i個面的距離記為hi，則相應的正確命題是：若,則 ．
14．在平面直角座標系xoy中，設直線和圓相切，其中m，，若函式的零點，則k= ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）在△abc中，a，b，c分別是角a、b、c所對的邊，且b2=ac，向量和滿足.（1）求的值；（2）求證：三角形abc為等邊三角形．
16．（本小題滿分14分）如圖，已知ab⊥平面acd，de⊥平面acd，ac=ad，
de＝2ab，f為cd的中點．
（1） 求證：af∥平面bce；（2） 求證：平面bce⊥平面cde．
17．（本小題滿分15分）設等差數列的前項和為且．
（1）求數列的通項公式及前項和公式；
（2）設數列的通項公式為，問: 是否存在正整數t，使得
成等差數列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由.
18．（本小題滿分15分）某地有三個村莊，分別位於等腰直角三角形abc的三個頂點處，
已知ab=ac=6km，現計畫在bc邊的高ao上一點p處建造乙個
變電站. 記p到三個村莊的距離之和為y. （1）設，把y表示成的函式關係式；
（2）變電站建於何處時，它到三個小區的距離之和最小？
19．（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，過右頂點a的直線l與橢圓c相交於a、b兩點，且.
（1）求橢圓c和直線l的方程；
（2）記曲線c在直線l下方的部分與線段ab所圍成的平面區域（含邊界）為d．若
曲線與d有公共點，試求實數m的最小值．
20．（本小題滿分16分）
已知二次函式g（x）對任意實數x都滿足，且．令
．（1）求 g(x)的表示式；
（2）若使成立，求實數m的取值範圍；
（3）設，，
證明:對，恒有
附加題部分
21．【選做題】在a，b，c，d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．選修4—1 幾何證明選講
如圖，ab是⊙o的直徑，c、f為⊙o上的點，且ca平分∠baf，過點c作cd⊥af
交af的延長線於點d. 求證：dc是⊙o的切線.
b．選修4—2 矩陣與變換
變換t是繞座標原點逆時針旋轉的旋轉變換，求曲線在變換t作用
下所得的曲線方程．
c．選修4—4 引數方程與極座標（本題滿分10分）
已知圓和圓的極座標方程分別為，．
（1）把圓和圓的極座標方程化為直角座標方程；
（2）求經過兩圓交點的直線的極座標方程．
d．選修4—5 不等式證明選講（本題滿分10分）
已知，求證：.
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．動點p在x軸與直線l：y＝3之間的區域（含邊界）上運動，且到點f（0，1）和直線l的距離之和為4．
（1）求點p的軌跡c的方程；
（2）過點作曲線c的切線，求所作的切線與曲線c所圍成區域的面積．
23．如圖，直三稜柱abc－a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，
ab＝bc=，bb1＝3，d為a1c1的中點，f**段aa1上．
（1）af為何值時，cf⊥平面b1df？
（2）設af=1，求平面b1cf與平面abc所成的銳二面角的余弦值.
.南通市2010屆高三第一次調研考試
數學答案
【填空題答案】
123．245．；
6．； 78．909．1010．①③④ ；
11．； 12．41314．0．
二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）在△abc中，a，b，c分別是角a、b、c所對的邊，且b2=ac，向量和滿足.（1）求的值；（2）求證：三角形abc為等邊三角形．
【解】（1）由得2分
又b=π(a+c)，得cos(ac)cos(a+c4分
即cosacosc+sinasinc(cosacoscsinasinc)=，所以sinasinc=． …………6分
【證明】（2）由b2=ac及正弦定理得，故.……………8分
於是，所以或. 因為cosb =cos(ac)>0， 所以 ，故11分
由餘弦定理得，即，又b2=ac，所以得a=c.
因為，所以三角形abc為等邊三角形14分
16．（本小題滿分14分）如圖，已知ab⊥平面acd，de⊥平面acd，ac=ad，
de＝2ab，f為cd的中點．
（1） 求證：af∥平面bce；（2） 求證：平面bce⊥平面cde．
【證明】（1）因為ab⊥平面acd，de⊥平面acd，所以ab∥de.
取ce的中點g，鏈結bg、gf，因為f為的中點，所以gf∥ed∥ba， gf＝ed＝ba，
從而abgf是平行四邊形，於是af∥bg4分
因為af平面bce，bg平面bce，所以af∥平面bce7分
（2）因為ab⊥平面acd，af平面acd，
所以ab⊥af，即abgf是矩形，所以af⊥gf9分
又ac=ad，所以af⊥cd11分
而cd∩gf＝f，所以af⊥平面gcd，即af⊥平面cde. 因為af∥bg，所以bg⊥平面cde.
因為bg平面bce，所以平面bce⊥平面cde14分
17．（本小題滿分15分）設等差數列的前項和為且．
（1）求數列的通項公式及前項和公式；
（2）設數列的通項公式為，問: 是否存在正整數t，使得
成等差數列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由.
【解】（1）設等差數列的公差為d. 由已知得 ……………………2分
即解得……………………4分.故. ………6分
（2）由（1）知.要使成等差數列，必須，即，……8分.整理得11分
因為m，t為正整數，所以t只能取2，3，5.當時，；當時，；當時，.
故存在正整數t，使得成等差數列15分
18．（本小題滿分15分）某地有三個村莊，分別位於等腰直角三角形abc的三個頂點處，
已知ab=ac=6km，現計畫在bc邊的高ao上一點p處建造乙個
變電站. 記p到三個村莊的距離之和為y. （1）設，把y表示成的函式關係式；
（2）變電站建於何處時，它到三個小區的距離之和最小？
【解】（1）在中，所以=oa=.所以
由題意知2分
所以點p到a、b、c的距離之和為
6分故所求函式關係式為7分
（2）由（1）得，令即，又，從而9分.
當時，；當時, .
所以當時，取得最小值13分
此時（km），即點p在oa上距o點km處.
【答】變電站建於距o點km處時，它到三個小區的距離之和最小. ………… 15分
19．（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，過右頂點a的直線l與橢圓c相交於a、b兩點，且.
（1）求橢圓c和直線l的方程；
（2）記曲線c在直線l下方的部分與線段ab所圍成的平面區域（含邊界）為d．若
曲線與d有公共點，試求實數m的最小值．
【解】（1）由離心率，得，即2分
又點在橢圓上，即4分
解 ①②得，
故所求橢圓方程為6分
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