數學試題
a．必做題部分
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1．已知全集u=，集合，則集合= ▲ ．
2． 已知函式，則的最小正週期是
3． 經過點（－2，3），且與直線平行的直線方程為
4． 若複數滿足則
5． 程式如下：
t←1i←2
while i≤4
t←t×i
i←i＋1
end while
print t
以上程式輸出的結果是
6． 若的方差為3，則的方差
為7． 正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為，則四面體的外接球的體積為
8． 以橢圓的左焦點為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交於不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值範圍是
9． 設a＞0，集合a=，b=．若點p（x，y）∈a是點p（x，y）∈b的必要不充分條件，則a的取值範圍是
10．在閉區間 [－1，1]上任取兩個實數，則它們的和不大於1的概率是
11．數列中，，且（，），則這個數列的通項公式
12．根據下面一組等式：
…………
可得13．在△abc中，，d是bc邊上任意一點（d與b、c不重合），且，則等於
14．設函式，記，若函式至少存在乙個零點，則實數m的取值範圍是
答案：1． 2． 3． 4． 5．24 6．27 7． 8．
9．0＜a≤ 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題14分）
如圖，在正三稜柱abc－a1b1c1中，點d在邊bc上，ad⊥c1d．
（1）求證：ad⊥平面bc c1 b1；
（2）設e是b1c1上的一點，當的值為多少時，
a1e∥平面adc1？請給出證明．
解: （1）在正三稜柱中，c c1⊥平面abc，ad平面abc，
∴ ad⊥c c12分
又ad⊥c1d，c c1交c1d於c1，且c c1和c1d都在面bc c1 b1內，
ad⊥面bc c1 b15分
（2）由（1），得ad⊥bc．在正三角形abc中，d是bc的中點7分
當，即e為b1c1的中點時，a1e∥平面adc18分
事實上，正三稜柱abc－a1b1c1中，四邊形bc c1 b1是矩形，且d、e分別是bc、b1c1的中點，所以b1b∥de，b1b= de10分
又b1b∥aa1，且b1b=aa1，
∴de∥aa1，且de=aa112分
所以四邊形ade a1為平行四邊形，所以e a1∥ad．
而e a1面ad c1內，故a1e∥平面ad c114分
16．（本小題14分）
如圖，在四邊形abcd中，ad=8，cd=6，ab=13，∠adc=90°，且．
（1）求sin∠bad的值；
（2）設△abd的面積為s△abd，△bcd的面積為s△bcd，求的值．
解 （1）在rt△adc中，ad=8，cd=6，
則ac=10，．………………2分
又∵，ab=13，
4分5分
8分（2），，， 11分
則14分
17．（本小題15分）
某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關係進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：
該農科所確定的研究方案是:先從這五組資料中選取2組，用剩下的3組資料求線性回歸方程，再對被選取的2組資料進行檢驗．
（1）求選取的2組資料恰好是不相鄰2天資料的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組資料，請根據12月2日至12月4日的資料，求出y關於x的線性回歸方程；
（3）若由線性回歸方程得到的估計資料與所選出的檢驗資料的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠?
解：（1）設抽到不相鄰兩組資料為事件，因為從5組資料中選取2組資料共有10種情況，每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組資料的情況有4種， ………………2分
所以4分
答：略5分
（2）由資料，求得7分
由公式，求得9分
所以y關於x的線性回歸方程為10分
（3）當x=10時，，|22－23|＜212分
同樣，當x=8時，，|17－16|＜214分
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的15分
18．（本小題15分）
拋物線的焦點為f，在拋物線上，且存在實數λ，使0，．
（1）求直線ab的方程；
（2）求△aob的外接圓的方程．
解：（1）拋物線的準線方程為．
∵，∴a，b，f三點共線．由拋物線的定義，得||=． …1分
設直線ab：，而
由得3分
6分 從而，故直線ab的方程為，即．……………………8分
（2）由求得a（4，4），b（，－110分
設△aob的外接圓方程為，則
解得14分
故△aob的外接圓的方程為15分
19．（本小題16分）
已知函式在[1，＋∞）上為增函式，且θ∈（0，π），，m∈r．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，＋∞）上為單調函式，求m的取值範圍；
（3）設，若在[1，e]上至少存在乙個，使得成立，求的取值範圍．
解：（1）由題意，≥0在上恆成立，即．………1分
0，π），∴．故在上恆成立，…………………2分
只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．……4分
（2）由（1），得．．…………5分
∵在其定義域內為單調函式，
∴或者在[1，＋∞）恆成立6分
等價於，即，
而 ，（）max=18分
等價於，即在[1，＋∞）恆成立，
而∈（0，1]，．
綜上，m的取值範圍是10分
（3）構造，．
當時，，，，所以在[1，e]上不存在乙個，使得成立12分
當時14分
因為，所以，，所以在恆成立．
故在上單調遞增，，只要，
解得．故的取值範圍是16分
20．（本小題16分）
已知等差數列的首項為a，公差為b，等比數列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大於1的正整數，且．
（1）求a的值；
（2）若對於任意的，總存在，使得成立，求b的值；
（3）令，問數列中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．
解：（1）由已知，得．由，得．
因a，b都為大於1的正整數，故a≥2．又，故b≥32分
再由，得 ．
由，故，即．
由b≥3，故，解得4分
於是，根據，可得6分
（2）由，對於任意的，均存在，使得，則
．又，由數的整除性，得b是5的約數．
故，b=5．
所以b=5時，存在正自然數滿足題意9分
（3）設數列中，成等比數列，由，，得
．化簡，得11分
當時，時，等式（※）成立，而，不成立12分
當時，時，等式（※）成立13分
當時，，這與b≥3矛盾．
這時等式（※）不成立14分
綜上所述，當時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第
二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，5016分
b．附加題部分
21．（選做題）從a，b，c，d四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．選修4－1（幾何證明選講）
如圖，ab是半圓的直徑，c是ab延長線上一點，cd
切半圓於點d，cd=2，de⊥ab，垂足為e，且e是
ob的中點，求bc的長．
解：連線od，則od⊥dc．
在rt△oed中，oe=ob=od，
∴∠ode=303分
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