2011—2012學年北大附中河南分校數學試題（理科）10.28
第ⅰ卷 本卷共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
一、選擇題
1．已知集合，那麼的值是
a．1 b．-1 c．1或-1 d．0，1或-1
2．已知角的終邊過點，且，則的值為
a． b． c． d．
3．命題「對任意的」的否定是
a．不存在 b．存在
c．存在 d．對任意的
4．函式的乙個單調增區間為
a． b． c． d．
5．設a、b、i均為非空集合，且滿足，則下列各式中錯誤的是
a． b．
c． d．
6．在中，角a、b、c的對邊分別為等於a．1 b．2 c． d．
7．如果，那麼下列不等式中正確的是
a． b．
c． d．
8．已知二次函式的圖象如右圖所示，則其導函式的圖象大致形狀是
9．設函式是定義在r上的以5為週期的奇函式，若，則的取值範圍是
a． b．
c． d．
10．若一圓弧長等於其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為
a． b． c． d．2
11．已知函式①②；③；④。其中對於定義域內的任意乙個自變數，都存在唯一的自變數，使成立的函式為
a．①③④ b．②④ c．①③ d．③
12．已知是定義在r上的函式，對任意都有，若函式的圖象關於直線對稱，且，則等於
a．2 b．3 c．4 d．6
第ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13．化簡的結果是
14．一輛汽車的速度——時間曲線如圖所示，則此汽車在這1min內所駛的路程為
15．電流強度i（安）隨時間t（秒）變化的函式
的圖象如圖所示，
則當時，電流強度是
16．符號表示不超過的最大整數，
如，定義函式，設函式在區間上零點的個數記為圖象交點的個數記為，則的值是 。
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知函式
（i）求的最小正週期和單調遞減區間；
（ⅱ）若上恆成立，求實數的取值範圍。
18．（本小題滿分12分）
已知函式
（ⅰ）若上是增函式，求實數的取值範圍。
（ⅱ）若的乙個極值點，求上的最大值。
19．（本小題滿分12分）
設函式是定義域為r上的奇函式；
（ⅰ）若，試求不等式的解集；
（ⅱ）若上的最小值。
20．（本小題滿分12分）
如圖，abcd是正方形空地，正方形的邊長為30m，電源在點p處，點p到邊ad、ab的距離分別為9m、3m，某廣告公司計畫在此空地上豎一塊長方形液晶廣告螢幕mnef，mn：ne=16：9，線段mn必須過點p，滿足m、n分別在邊ad、ab上，設，液晶廣告螢幕mnef的面積為
（i）求s關於x的函式關係式，並寫出該函式的定義域；
（ii）當x取何值時，液晶廣告螢幕mnef的面積s最小？
21．（本小題滿分12分）
設m是由滿足下列條件的函式構成的集合：「①方程有實數根；②函式」
（i）判斷函式是否是集合m中的元素，並說明理由；
（ii）集合m中的元素具有下面的性質：若的定義域為d，則對於任意成立。試用這一性質證明：方程只有乙個實數根；
（iii）對於m中的函式的實數根，求證：對於定義域中任意的當且
22．（本小題滿分10分）
選做題：任選一道，兩題均做只以（i）的解答計分。
（i）已知，求證：
（ii）已知正數a、b、c滿足，求證：
參***
一、選擇題
dccab babac da
二、填空題
13． 14．1350m 15．5 16．
三、解答題
17．解：（i）
………………2分
………………3分
的單調遞減區間為 ………………6分
（ii）
即有 ………………10分
………………12分
18．（i）
上是增函式
………………3分
即上恆成立
則必有 ………………6分
（ii）依題意，
即 ………………8分令得則
當變化時，的變化情況如下表：
在[1，4]上的最大值是 ………………12分
19．解：是定義域為r上的奇函式，
………………1分
（i），
………………2分
在r上為增函式 ………………3分
原不等式分為：
…………6分
（ii）
即（捨去）
…………8分
令則為增函式（由（i）可知），即 …………10分
…………12分
20．解：（i）如圖，建立直角座標系，設
由已知有
又mn過點d時，x最小值為10，
…………2分
…………5分
定義域為[10，306分
（ii）
7分令，
當關於x為減函式；
當時，關於為增函式 …………11分
時，s取得最小值11分
答：當an長為（m）時，液晶廣告螢幕mnef的面積s最小
12分21．（1）因為
所以又因為當，所以方程有實數根0，
所以函式是集合m中的元素。 …………4分
（2）假設方程存在兩個實數根，
則5分不妨設，根據題意存在數，
使得等式成立， …………7分
因為與已知只有乙個實數根；
9分 （3）不妨設為增函式，
所以又因為為減函式， …………10分
所以11分
所以，即
所以12分
22．（i）證明：因為x，y，z均為正數，
所以4分
同理可得6分
當且僅當時，以上三式等號都成立，
將上述三個不等式兩邊分別相加，並除以2，
得10分()
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