數學試題(文科） （2023年4月）
（本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘）
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液。不按以上要求作答的答案無效。
參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高。
第ⅰ卷選擇題（共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分）
1．複數的虛部是
abcd．1
2．集合，，則下列結論正確的是
a． b． c． d．
3．對於非零向量，「」是「」成立的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
4．已知函式的圖象與的圖象關於直線對稱，則
abcd．
5．如圖是2023年元旦晚會舉辦的挑戰主持人大賽上，
七位評委為某選手打出的分數的莖葉統計圖，去掉一
個最高分和乙個最低分後，所剩資料的方差為
a．4.84b．0.8
c．1.6d．3.2
6．已知是兩條直線，是兩個平面，給出下列命題：①若，則；②若平面上有不共線的三點到平面的距離相等，則；③若為異面直線，則．其中正確命題的個數是
a．個b．個c．個d．個
7．在如圖所示的流程圖中，若輸入值分別為，則輸出的數為
abcd．不確定
8．已知雙曲線的右焦點與拋物線
焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是
a． b
c． d．
9．若，則點必
在a．直線的左下方
b．直線的右上方
c．直線的右上方
d．直線的左下方
10．如圖，正方形的頂點，，
頂點位於第一象限，直線將
正方形分成兩部分，記位於直線左側陰影部分
的面積為，則函式的圖象大致是
abcd
第ⅱ卷非選擇題（共100分）
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第一小題計分）
11．函式的極小值是
12．已知數列是等差數列，，則首項
13．已知的內角a，b，c所對的邊分別為，且，，．
則的值為
★（請考生在以下兩個小題中任選一題作答，全答的以第一小題計分）
14．（座標系與引數方程選做題）直線
(為引數)的傾斜角是 ．
15．（幾何證明選講選做題）如圖，的割線
交於兩點，割線經過圓心，已知
，，則的半徑是
三、解答題（本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
在平面直角座標系下，已知，，，．
（1）求的表示式和最小正週期；
（2）求的最大值及達到最大值時的值。
17．（本小題滿分12分）
現有編號分別為的四個不同的代數題和編號分別為的三個不同的幾何題．甲同學從這七個題中一次隨機抽取兩道題，每題被抽到的概率是相等的，用符號表示事件「抽到的兩題的編號分別為、，且」．
（1）總共有多少個基本事件？並全部列舉出來；
（2）求甲同學所抽取的兩題的編號之和大於6且小於10的概率。
18．（本小題滿分14分）
如圖, 在三稜柱中，，
平面，，,，
點是的中點，
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求三稜錐的體積。
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓的乙個頂點為，焦點在軸上．若右焦點到直線的距離
為3．（1） 求橢圓的標準方程；
（2） 設直線與橢圓相交於不同的兩點．當時，求的
取值範圍。
20．（本小題滿分14分）
已知函式的圖象上。
（1）求數列的通項公式；
（2）令求數列
（3）令證明：．
21．（本小題滿分14分）
已知函式，（其中.）
（1）若時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，若關於的不等式恆成立，試求的最大值。
惠州市2010屆高三第一次高考模擬考試
數學試題(文科）答案
1．【解析】，複數的虛部是。故選a。
2．【解析】。故選c。
3．【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以「」是「」成立的必要不充分條件。故選b。
4．【解析】函式是的反函式，。故選c。
5．【解析】去掉乙個最高分和乙個最低分後，所剩資料的平均數：
,方差是：.
故選d。
6．【解析】①顯然正確；②三點在平面的異側，則相交；③正確。故選b。
7．【解析】 即，輸出的數是。故選a。
8. 【解析】焦點是，雙曲線的半焦距，又虛半軸
又，雙曲線漸近線的方程是。故選d。
9．【解析】，即，故選。
10．【解析】當直線從左向右移動的過程中，直線左側陰影部分的面積的改變量開始逐漸增大，當到達中點時，面積的改變量最大，而後面積的改變量逐漸減小。故選c。
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11．【解析】
當時，，函式遞增；
當時，，函式遞減；
當時，，函式遞增；
當時，12．【解析】，
另解：，公差，。
13．【解析】在中， ，
由正弦定理得： 。
14．【解析】當時，，
直線傾斜角是
15．【解析】設⊙o的半徑是，。
16．解：（12分
6分∴的最小正週期為8分
（2）∵．
∴當，即，即時10分
12分17．解：（1）共有個等可能性的基本事件，列舉如下共21個5分
（2）記事件「甲同學所抽取的兩題的編號之和大於6且小於10」為事件.
即事件為「，且，其中」，
由（1）可知事件共含有9個基本事件，列舉如下：
共9個； ………10分
12分18．解 ：（1）直三稜柱，
底面三邊長，，,
，∴ ，，又，
5分（2）設與的交點為，鏈結，
∵是的中點，是的中點，
。 ………10分
（3） ………14分
19．解：（1）依題意可設橢圓方程為 ，則右焦點
由題設，解得4分
故所求橢圓的方程為5分
（2）設，設p為弦mn的中點，
由得 ，直線與橢圓相交，
8分 從而，
又，則即10分
把②代入①得解得12分
由②得解得13分
綜上求得的取值範圍是14分
20．解：（11分
當；當，適合上式，
4分 （2），
①5分由①②得：
8分（3）證明：由
10分又
……12分
成立14分
21．解：（1）當時，， ………2分
從而得4分
故曲線在點處的切線方程為，
即6分（2）由，得， ……………7分
令則8分
再令則，
即在上單調遞增.所以，……………10分
因此，故在上單調遞增12分
則，因此14分
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