2023年虹口區第三次模擬考試（理科試卷）
滿分150分，時間120分鐘2015.05.19
一、填空題（本大題滿分56分）本大題共14題，只要求在答題紙相應題號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1.若，且，則實數的值為
2.不等式的解集為
3.已知（為虛數單位），則複數的值為_______.
4.展開式的常數項為
5.已知數列是等差數列，數列是等比數列，
則的值為_______.
6.乙個演算法的程式框圖如右，則其輸出結果為
7.隨機投擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之積為6的倍數的概率為
8.設函式的圖象過點，其反函式的圖象過點，則等於
9.已知向量，函式，且圖象上乙個最高點的座標為，與之相鄰的乙個最低點的座標為，則的解析式為
10.如果乙個球的外切圓錐的高是這個球半徑的3倍，那麼圓錐側面積和球面積的比為
11.在極座標系中，若直線被圓截得的弦長為，則實數
12.已知為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最小值為
13.關於的實係數一元二次方程的兩個虛根為、，若、在復平面上對應的點是經過原點的橢圓的兩個焦點，則該橢圓的長軸長為_______.
14.關於曲線，有如下結論：
曲線關於原點對稱；
曲線關於直線對稱；
曲線是封閉圖形，且封閉圖形的面積大於；
曲線不是封閉圖形，且它與圓無公共點；
曲線與曲線有4個交點，這4點構成正方形.
其中所有正確結論的序號為
二、選擇題（本題共4題，滿分20分）每題只有乙個正確答案，考生在答題紙的相應題號上，將所選答案的代號塗黑，選對得5分，否則一律零分.
15.對乙個容量為的總體抽取容量為的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別是、、，則（ ）
ab. c. d.
16.對於函式，若存在，使得取定義域內的每乙個值，都有，則稱為準偶函式，下列函式是準偶函式的是（ ）
a. bc. d.
17.點是半徑為1的球面上的四個點，線段兩兩垂直，若用分別表示的面積，則的最大值為（ ）
ab.2c.4d.8
18.已知是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線左支上的一點且，與兩漸近線相交於兩點（如圖），
若點恰好平分線段，則雙曲線的焦距為（ ）
a. bcd.4
三、解答題（本大題共5題，滿分74分）解答下列各題必須
在答題紙的規定區域內寫出必要的步驟.
19.（本題滿分12分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題6分.
如圖，在所有稜長為2的正三稜柱中，為的中點，求
（1）直線與平面所成角的大小；
（2）點到平面的距離.
20.（本題滿分14分）本題共2小題，第1小題7分，第2小題7分.
已知函式，.
（1）求函式的最大值與最小值；
（2）若不等式在恆成立，求實數的取值範圍.
21.（本題滿分14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分.
已知拋物線的焦點為.
（1）點滿足，當點在拋物線上運動時，求動點的軌跡方程；
（2）在軸上是否存在點，使得點關於直線的對稱點在拋物線上？如果存在，求出所有滿足條件的點的座標，若不存在，請說明理由.
22.（本題滿分16分）本題共3小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分.
定義非零向量的「相伴函式」為（），向量稱為函式的「相伴向量」（其中為座標原點），記平面內所有向量的「相伴函式」構成的集合為.
（1）已知點滿足，求向量的模的最小值；
（2）設（），求證：，並求函式的「相伴向量」模的取值範圍；
（3）已知點（）滿足，向量的「相伴函式」在處取得最大值，當點運動時，求的取值範圍.
23.（本題滿分18分）本題共3小題，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分.
某情報部門獲取一些資訊密碼需要破譯，密碼可以看成乙個數列，記為，並且滿足，，其中表示該數列的前項和.
（1）求出的值，對任意的，寫出與的關係的各種表示式；
（2）有一條密碼可由數列的前100項組成，試問共可組成多少條不同的密碼，為什麼？（3）若一條密碼可由數列的前10項組成，且，試問組成的密碼是否唯一確定？並說明理由.
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