初二承諾班專題(52期)
直角三角形的全等問題：直角三角形的研究是整個中學幾何圖形部分裡的重點！
直角三角形有關的全等問題中，除了特用的hl定理之外，在條件的尋找上首先就有了一組直角相等；而多個直角，多個垂直的圖形組合在一塊時，就很容易利用「同（等）角的餘角相等」來得到其他的角相等。
例一：圖1，已知do⊥bc，oc=oa，ob=od，問cd=ab嗎？
[分析]：此圖形可看作繞o點旋轉得到，由垂直得到一組直角，
把結合其他兩組邊，很容易找到他們所在的三角形。
[變形1]：請說明△bce是直角三角形。
（利用全等三角形的對應角相等，以及直角三角形的兩個銳角互餘這兩個性質進行代換和轉換）
[變形2]：（2008 威海）把兩個含有45°角的直角三角板如圖1放置，點d在bc上，
鏈結be，ad，ad的延長線交be於點f．求證：af⊥be．
[分析]：此圖中要說明af⊥be，與上題中△bce是直角三角形是一樣的意思，
只需要說明∠bfd=90°即可
[變形3]：兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，鏈結cd彩圖為提示）
（1）請找出圖2中的全等三角形，並給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；
（2）證明：cd⊥be
[變形4]、如圖2，在△abc中，高ad與be相交於點h，且ad=bd，
問△bhd≌△acd，為什麼？
[分析]：此題實際上就是[變形1]的反問，已經存在一組直角（由垂直得到），
一組相等的邊（已知），再利用「同（等）角的餘角相等」來得到第二組角相等！
[變形5]：如圖3， 已知ed⊥ab，ef⊥bc，bd=ef，問bm=me嗎？
說明理由。
[變形6]：如圖4，ad是一段斜坡，ab是水平線，現為了測斜坡上一點d的豎直高度db的長度，歡歡在d處立上一竹竿cd，並保證cd⊥ad，然後在竿頂c處垂下一根繩ce，與斜坡的交點為點e，他調整好繩子ce的長度，使得ce=ad，此時他測得de=2公尺，於是他認定db的高度也為2公尺，你覺得對嗎?請說明理由。
例二：如圖1，已知，ac⊥ce，ac=ce， ∠abc=∠cde=90°，
問bd=ab+ed嗎?
[分析] ：
（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90°角，得到一組等量關係；
（2）出現3個垂直，往往意味著要運用同（等）角的餘角相等，得到另一組等量關係；
（3）由全等得到邊相等之後，還要繼續往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起：
如如圖6，除了得到三組對應邊相等之外，還可以得到ac=bd。
解答過程：得到△abc≌cde之後，可得到bc=de，ab=cd
bc+cd=de+ab（等式性質）
即：bd=ab+de
[變形1]：如圖7， 如果△abc≌△cde，請說明ac與ce的關係。
[注意]：兩條線段的關係包括：大小關係（相等，一半，兩倍之類）
位置關係（垂直，平行之類）
[變形2]：（2008 瀘州）如圖，e是正方形abcd的邊dc上的一點，過點a作fa⊥ae交cb的延長線於點f，
求證：de=bf
[分析]：注意圖形中有多個直角，利用同角的餘角相等或等式性質可到一組銳角相等。
[變形3]：如圖8，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ae是過點a的直線，bd⊥ae，ce⊥ae，
如果ce=3，bd=7，請你求出de的長度。
[分析] ：說明相等的邊所在的三角形全等，
題中「ab=ac」，發現：ab在rt△abd中，ac在rt△cae中，
所以嘗試著去找條件，去說明它們所在的兩個rt△全等（如圖9）
於是：已經存在了兩組等量關係：ab=ac，直角=直角，
再由多個垂直利用同角的餘角相等，得到第三組等量關係。
[變形4]：在△abc中，∠acb= 900，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥mn於e。
（1）當直線mn繞點c旋轉到圖9的位置時，△adc≌△ceb，且 de=ad+be。你能說出其中的道理嗎？
（2）當直線mn繞點c旋轉到圖10的位置時， de =ad-be。說說你的理由。
（3）當直線mn繞點c旋轉到圖11的位置時，試問de，ad，be 具有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係。
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