二次函式與等腰三角形導學案

初三數學導學案 2014．04．09

課題：二次函式與等腰三角形

回顧：１．二次函式的知識要點；

2．等腰三角形的性質與判定。

**：例1.如圖，拋物線與x軸相交於a、b兩點，點b的座標為（3,0），

它的對稱軸為直線，拋物線的頂點為d.

（1）二次函式的解析式是

反思：①二次函式的解析式有三種形式，你求解選用的是

②你還能用其它形式求解嗎？（簡寫過程）

③你覺得哪種方式更好

（2）連線bd並延長，與y軸相交於點p，判斷△bcp的形狀。（簡寫要點）

例2．如圖，在平面直角座標系中，點a座標為（﹣2，0），點b座標為（0，2），點e為線段ab上的動點（點e不與點a，b重合），以e為頂點作∠oet=45°，射線et交線段0b於點f，c為y軸正半軸上一點，且oc=ab，拋物線y=x2+mx+n的圖象經過a，c兩點．

（1）求此拋物線的函式表示式；

（2）求證：∠bef=∠aoe；

（3）當△eof為等腰三角形時，求此時點e的座標；

反思：例3．如圖，拋物線y＝－x2＋x－4與x軸相交於點a、b，與y軸相交於點c，拋物線的對稱軸與x軸相交於點m．p是拋物線在x軸上方的乙個動點（點p、m、c不在同一條直線上）．分別過點a、b作直線cp的垂線，垂足分別為d、e，連線md、me．

（1）求點a、b的座標（直接寫出結果），並證明△mde是等腰三角形；

（2）△mde能否為等腰直角三角形?若能，求此時點p的座標，若不能，說明理由；

（3）若將「p是拋物線在x軸上方的乙個動點（點p、m、c不在同一條直線上）」改為「p是拋物線在x軸下方的乙個動點」，其他條件不變，△mde能否為等腰直角三角形?若能，求此時點p的座標（直接寫出結果），若不能，說明理由．

反思：嘗試：

１．例2選自2023年瀋陽市中考數學試卷，請在此基礎上繼續完成後續問題：

(4) 在（3）的條件下，當直線ef交x軸於點d，p為（1）中拋物線上一動點，直線pe交x軸於點g，在直線ef上方的拋物線上是否存在一點p，使得△epf的面積是△edg面積的（2+1）倍？若存在，請直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由．

２．（2013煙台）已知，點p是直角三角形abc斜邊ab上一動點（不與a，b重合），分別過a，b向直線cp作垂線，垂足分別為e，f，q為斜邊ab的中點．

（1）如圖1，當點p與點q重合時，ae與bf的位置關係是qe與qf的數量關係式

（2）如圖2，當點p**段ab上不與點q重合時，試判斷qe與qf的數量關係，並給予證明；

（3）如圖3，當點p**段ba（或ab）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形並給予證明．

3．（2012大連一模）如圖，點a（—2，0）、b（4，0）、c（3，3）在拋物線上，點d在y軸上，且dc⊥bc，∠bcd繞點c順時針旋轉後兩邊與x軸、y軸分別相交於點e、f.

（1）求拋物線的解析式；

（2）cf能否經過拋物線的頂點？若能，求出此時點e的座標，若不能，說明理由；

（3）若△fdc是等腰三角形，求點e的座標.

4．（2013大連二模）在平面直角座標系xoy中，拋物線y=－(x+m)2的頂點為a，直線y=－x－m與y軸相交於點b，其中m>0.

（1）判斷點a是否在直線y=－x－m上；

（2）點c是拋物線對稱軸上的一點，點d在拋物線上，若以c、d、a為頂點的三角形與△aob全等，求出m的值和點d的座標。