第一講勾股定理知識拓展講解
一、本節基礎知識
1、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等於斜邊c的平方，即a2+b2=c2．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那麼這個三角形是直角三角形.
2、命題與原命題：勾股定理的逆定理的題設和結論恰好與勾股定理的題設和結論相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
3、逆定理：一般地，如果乙個定理的逆命題經過證明是正確的，它也是乙個定理，稱這兩個定理互為逆定理。
4、勾股數：3、4、5這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。
一.勾股定理中方程思想的運用
例題1．如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊ac=5cm，bc=10cm，將△abc摺疊，使點b與點a重合，摺痕為de，則cd的長為
例題2、已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是2+，求這個三角形的面積．
例題3、如圖2-10，△abc中，ab=ac=20，bc=32，d是bc上一點，且ad⊥ac，求bd的長．
2.勾股定理中分類討論思想的運用
例題1．已知△abc中，ab=20，ac=15，bc邊上的高為12，求△abc的面積。
例題2、已知矩形abcd，p為矩形所在平面內的任意一點，求證：pa2+pc2=pb2+pd2．
3．勾股定理的中的相關證明
例1、如圖2-21所示．已知：在正方形abcd中，∠bac的平分線交bc於e，作ef⊥ac於f，作fg⊥ab於g．求證：ab2=2fg2．
例2、如圖2-22所示．am是△abc的bc邊上的中線，求證：ab2+ac2=2(am2+bm2)．
例3、 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等於對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍．
例4 如圖2-24所示．已知△abc中，∠c=90°，d，e分別是bc，ac上的任意一點．求證：ad2+be2=ab2+de2．
例5、 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等於斜邊平方的5倍．
例6、如圖2-25所示．設直角三角形abc中，∠c=90°，am，bn分別是bc，ac邊上的中線．求證：4(am2+bn2)=5ab2．
六；鏈結中考
1.（2023年眉山）如圖，每個小正方形的邊長為1，a、b、c是小正方形的頂點，則∠abc的度數為
a．90° b．60° c．45° d．30°
2.（2010山西）．如圖，在△abc中，ab＝ac＝13，bc＝10，d是ab的中點，過點d作de⊥ac於點e，則de的長是
3.（2010·綿陽）．如圖，一副三角板拼在一起，o為ad的中點，ab = a．將△abo沿bo對折於△a′bo，m為bc上一動點，則a′m的最小值為答案：
4.(10重慶潼南縣)如圖,四邊形abcd是邊長為2的正方形，點g是bc延長線上一點，鏈結ag，點e、f分別在ag上，連線be、df，∠1=∠2，∠3=∠4
（1）證明：△abe≌△daf
（2）若∠agb=30°，求ef的長
5.（2007安徽）如圖，de分別是△abc的邊bc和ab上的點，△abd與△acd的周長相等，△cae與△cbe的周長相等．設bc=a，ac=b，ab=c．
（1）求ae和bd的長；
（2）若∠bac=90°，△abc的面積為s，求證：s=aebd．
6、（2010河南）（1）操作發現：如圖，矩形abcd中，e是ad的中點，將△abe沿be摺疊後得到△gbe，且點g在矩形abcd內部．小明將bg延長交dc於點f，認為gf=df，你同意嗎？說明理由．（2）問題解決：
保持（1）中的條件不變，若dc=2df，求的值；
（3）模擬探求：保持（1）中條件不變，若dc=ndf，求的值．
7，（2010湖北省咸寧市）如圖，直角梯形abcd中，ab∥dc，，，．動點m以每秒1個單位長的速度，從點a沿線段ab向點b運動；同時點p以相同的速度，從點c沿折線c-d-a向點a運動．當點m到達點b時，兩點同時停止運動．過點m作直線l∥ad，與線段cd的交點為e，與折線a-c-b的交點為q．點m運動的時間為t（秒）．
（1）當時，求線段的長；
（2）當0＜t＜2時，如果以c、p、q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當t＞2時，連線pq交線段ac於點r．請**是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．1
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19.9 2 勾股定理 勾股定理的應用 要點歸納 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形。如果存在直角三角形，根據所給的三邊的條件，建立方程，從而使問題解決 如果問題中沒有直角三角形，可以通過新增輔助線構造出直角三角形，尋求定量關係，再根據勾股定理建立相應的方程。...
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