1.十字相乘法進行因式分解（5.10）
【基礎知識精講】
（1）理解二次三項式的意義；
（2）理解十字相乘法的根據；
（3）能用十字相乘法分解二次三項式；
（4）重點是掌握十字相乘法，難點是首項係數不為1的二次三項式的十字相乘法．
【重點難點解析】
1．二次三項式
多項式，稱為字母x的二次三項式，其中稱為二次項，bx為一次項，c為常數項．例如，和都是關於x的二次三項式．
在多項式中，如果把y看作常數，就是關於x的二次三項式；如果把x看作常數，就是關於y的二次三項式．
在多項式中，把ab看作乙個整體，即，就是關於ab的二次三項式．同樣，多項式，把x＋y看作乙個整體，就是關於x＋y的二次三項式．
十字相乘法是適用於二次三項式的因式分解的方法．
2．十字相乘法的依據和具體內容
利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用(ax＋b)(cx＋d)豎式乘法法則．它的一般規律是：
（1）對於二次項係數為1的二次三項式，如果能把常數項q分解成兩個因數a，b的積，並且a＋b為一次項係數p，那麼它就可以運用公式
分解因式．這種方法的特徵是「拆常數項，湊一次項」．公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，因式的符號與一次項係數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項係數的符號相同．
（2）對於二次項係數不是1的二次三項式(a，b，c都是整數且a≠0)來說，如果存在四個整數，使，，且，
那麼它的特徵是「拆兩頭，湊中間」，這裡要確定四個常數，分析和嘗試都要比首項係數是1的情況複雜，因此，一般要借助「畫十字交叉線」的辦法來確定．學習時要注意符號的規律．為了減少嘗試次數，使符號問題簡單化，當二次項係數為負數時，先提出負號，使二次項係數為正數，然後再看常數項；常數項為正數時，應分解為兩同號因數，它們的符號與一次項係數的符號相同；常數項為負數時，應將它分解為兩異號因數，使十字連線上兩數之積絕對值較大的一組與一次項係數的符號相同．用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等於一次項係數；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母．如：
3．因式分解一般要遵循的步驟
多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最後考慮分組分解法．對於乙個還能繼續分解的多項式因式仍然用這一步驟反覆進行．以上步驟可用口訣概括如下：「首先提取公因式，然後考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反覆試，結果應是乘積式」．
【典型熱點考題】
例1 把下列各式分解因式：
（1）；（2）．
點悟：（1）常數項－15可分為3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰為一次項係數；
（2）將y看作常數，轉化為關於x的二次三項式，常數項可分為(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰為一次項係數．
解：（1）；
（2）．
例2 把下列各式分解因式：
（1）；（2）．
點悟：我們要把多項式分解成形如的形式，這裡，而．
解：（1）；
（2）．
點撥：二次項係數不等於1的二次三項式應用十字相乘法分解時，二次項係數的分解和常數項的分解隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積累經驗，才能提高速度和準確性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
點悟：（1）把看作一整體，從而轉化為關於的二次三項式；
（2）提取公因式(x＋y)後，原式可轉化為關於(x＋y)的二次三項式；
（3）以為整體，轉化為關於的二次三項式．
解：（1）
＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．
（2）＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]
＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．
（3）點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發現多項式中究竟把哪乙個看成整體，才能構成二次三項式，以順利地進行分解．同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續分解，如能分解，要分解到不能再分解為止．
(1)a2－7a+62) 18x2－21x+5；
(3)20－9y－20y24)3a2－7a－6；
(5)4m2+8m+36). 8m2－22m+15；
(78(910)．
（1112）；
(1314)
(1516)
填空題：
1.若是多項式的乙個因式，則
2. 如果，那麼k
3.若多項式可以分解為，則m=______.
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因式分解補充方法 相乘法
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經典因式分解練習題
因式分解專題訓練 姓名 1.3abc 12abc2 9abc 2.16x 81 3.xy 6 2x 3y 4.x x y y y x 5.2x a 2b x ab 6.a4 9ab 7.x 3x 4 8.ab x y xy a b 9.x y a b c x y b c a 10.a a b b 1...