「十字相乘法」在因式分解中的妙用
在教材中，對因式分解僅給出了兩種方法，即提公因式法和公式法，而從學生解題中所反映的情況看，運用這兩種方法往往易混，特別是公式法易忘、易錯．筆者經過幾年的教學摸索，啟用了現在不被重視但卻很有用的「十字相乘法」進行教學，效果很顯著，茲舉例說明如下．
1．多項式僅有兩項且為平方差
(1)－項為字母平方一項為數字平方時．
如分解因式x2－9，則有
此時十字中左邊的x與x相乘的結果是多項式的第一項x2，右邊－3與3相乘的結果是多項式的第二項－9．
所以x2－9＝（x－3）（x＋3）．
(2)兩項均為字母的平方差，
如分解因式x2－y2，則有
此時十字中左邊的x與x相乘的結果是多項式的第一項x2，右邊－y與y相乘的結果是多項式的第二項－y2．
所以x2－y2＝（x－y）（x＋y）．
(3)兩項均為數字與字母的平方時，
如分解因式(9x)2－(4y)2，則有
此時十字中左邊的3x與3x相乘的結果是多項式的第一項9x2，右邊－2y與2y相乘的結果是多項式的第二項－4y2．
所以(9x)2－(4y)2＝(3x－2y)(3x＋2y)．
2．多項式有三項
(1)三項可組成完全平方時．
如分解因式x2＋6x＋9．
雖然這是乙個完全平方式，但利用十字相乘法完全可以分解，即
此時分解二次項和常數項，即十字中左邊的x與x相乘的結果是多項式的第一項x2，右邊3與3相乘的結果是多項式的常數項9，在每條直線上的兩式乘積和為6x．
所以x2＋6x＋9
＝（x＋3）（x＋3）＝(x＋3)2．
同理一次項係數是負則可將常數分成兩負數相乘．
(2)三項含有二次項、一次項、常數項，且一次項的係數是1時．
如分解因式x2－6x＋8．
此時分解二次項和常數項，即十字中左邊的x與x相乘的結果是多項式的第一項x2，右邊－2與－4相乘的結果是多項式的常數項8，在每條直線上的兩式的乘積和為－6x．
所以，x2－6x＋8＝(x－2)(x－4)，常數分得的兩數是正負積由一次項係數的正負決定．
(3)三項含有二次項、一次項、常數項且一次項的係數不是1時，
如分解因式 2x2－3x＋1，則有
此時分解二次項和常數項，即十字中左邊的2x與x相乘的結果是多項式的第一項2x2，右邊－1與－1相乘的結果是多項式的常數項1，在每條直線上的兩式的乘積和為－3x．
所以，2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)，此時一次項係數是由二次項係數和常數項來決定．
(4)當三項均為二次項時．
如分解因式3x2＋5xy＋2y2，則有
此時分解的是x與y的平方項，即十字中左邊的3x與x相乘的結果是多項式的第一項3x2，右邊2y與y相乘的結果是多項式中的2y2項，在每條直線上的兩式的乘積和為5xy．
所以3x2＋5xy＋2y2＝(3x＋2y)（x＋y）．
總之，利用「十字相乘法」來分解因式，加快了解題速度，同時提公升了準確率，使我們在解分式和一元二次方程時，能將問題簡單化、清晰化．
蘇科版七年級數學目錄
七年級上冊 第一章我們與數學同行 1.1 生活數學 1.2活動思考 第二章有理數 2.1 比0小的數 2.2 數軸 2.3 絕對值與相反數 2.4 有理數的加法和減法 2.5 有理數的乘法與除法 2.6 有理數的乘方 2.7 有理數的混合運算 第三章用字母表示數 3.1 字母表示數 3.2 代數式 ...
蘇科版七年級數學下冊知識要點提綱
蘇科版七年級下冊知識點總結 1 平移 1 定義 在平面內，將某個圖形沿某個方向一動一定距離 2 性質 1 平移不改變圖形形狀 大小 2 對應點連線平行或在同一直線上且相等 對應線段平行或在同一直線上且相等 對應角相等 2 三角形的角 2 1 外角 三角形一邊與另一邊延長線組成的角叫三角形外角 3 2...
七年級數學下冊《12 2證明》導學案蘇科版
12.2 證明 一 學習目標 1.經歷探索一些問題時，由於 直觀判斷不可靠 直觀無法做出確定判斷 但運用已有的數學知識和方法可以確定乙個數學結論的正確性的過程，初步感受說理的必要性 2.嘗試用說理的方法解決問題，體驗說理必須步步有據，培養學生嚴密分析問題的能力 3.通過實驗 操作 探索，培養學生辨證...